Außenwinkel

Innenwinkel (blau) und Außenwinkel (grün) eines Dreiecks

Die Außenwinkel eines Vielecks sind die Nebenwinkel seiner Innenwinkel. Der außen anliegende Winkel zwischen einer Seite und der Verlängerung der anderen Seite einer Ecke ergänzt einen Innenwinkel zu 180°.

Bezeichnungen

Bezeichnungen von Innen- und Außenwinkeln am Viereck ABCD

Werden die Seiten eines konvexen Polygons über die Ecken hinaus verlängert, entstehen vier Schnittwinkel, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent sind. Diejenigen Winkel, die im Inneren des Polygons liegen, heißen die Innenwinkel des Polygons. Werden die Ecken des Polygons mit $A,B,C,\ldots$ bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ genannt. An jeder Ecke des Polygons findet sich ein dem Innenwinkel gegenüber liegender Scheitelwinkel, der gleich groß wie dieser ist und ebenso bezeichnet wird. Die beiden verbleibenden Winkel sind ebenfalls Scheitelwinkel und daher auch gleich groß. Sie werden die Außenwinkel des Dreiecks genannt und üblicherweise mit

$\alpha ',\beta ',\gamma ',\ldots$

bezeichnet (siehe Abbildung). Sowohl Innenwinkel als auch Außenwinkel eines Polygons sind umkehrbar eindeutig den Ecken des Polygons zugeordnet. Jeder Außenwinkel ist dabei der Nebenwinkel seines zugehörigen Innenwinkels, das heißt es gilt

$\alpha +\alpha '=\beta +\beta '=\gamma +\gamma '=\ldots =180^{\circ }$.

Den einem Außenwinkel zugehörigen Innenwinkel nennt man anliegenden Innenwinkel, während die übrigen Innenwinkel des Polygons nichtanliegende Innenwinkel genannt werden. Entsprechend wird jeder der beiden Außenwinkel, die einem Innenwinkel zugeordnet sind, als anliegender Außenwinkel bezeichnet und die übrigen Außenwinkel des Polygons als nichtanliegende Außenwinkel.

Innen- und Außenwinkel können auch bei nichtkonvexen Polygonen definiert werden. An einer einspringenden Ecke befinden sich die Außenwinkel allerdings dann im Inneren des Polygons. In diesem Fall wird den Außenwinkeln ein negatives Winkelmaß zugeordnet, sodass die Winkelsumme aus Innenwinkel und zugehörigem Außenwinkel weiterhin 180° beträgt.

Außenwinkelsätze

→ Hauptartikel: Außenwinkelsatz

Der schwache Außenwinkelsatz besagt, dass der Außenwinkel eines beliebigen Dreiecks stets strikt größer als jeder der beiden nichtanliegenden Innenwinkel ist.

Der Außenwinkelsatz der euklidischen Geometrie besagt, dass der Außenwinkel an einer Ecke eines Dreiecks stets gleich der Summe der Innenwinkel an den beiden anderen Ecken ist.

Außenwinkelsumme

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks (in der euklidischen Ebene) ist gleich 360°; auch für ein beliebiges konvexes n-Eck (Polygon) beträgt sie n × 180° - (n -2) × 180° gleich 360°.

Verallgemeinerungen

Der Begriff des Außenwinkels läßt sich auch in allgemeineren Geometrien wie der absoluten Geometrie und der Riemannschen Geometrie definieren. Der schwache Außenwinkelsatz gilt auch in der absoluten Geometrie, während der Außenwinkelsatz in nichteuklidischen Geometrien nicht mehr richtig sein muß.

Siehe auch

• Winkelsumme

Literatur

• Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0097-8, S. 236–238. 

Weblinks

Wiktionary: Außenwinkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen