Innenwinkel

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Innenwinkel α, β, γ eines Dreiecks

Die Innenwinkel eines Polygons sind in der Geometrie die Winkel, die durch zwei benachbarte Polygonseiten eingeschlossen werden und in Inneren des Polygons liegen. Die Ecken des Polygons bilden dabei die Scheitelpunkte der Innenwinkel. Jedes n-Eck besitzt genau n Innenwinkel. In einem nicht überschlagenen Polygon hängt die Innenwinkelsumme nur von der Anzahl der Ecken des Polygons ab. Ein Nebenwinkel eines Innenwinkels, der durch Verlängerung einer Polygonseite entsteht, wird Außenwinkel genannt.

Bezeichnungen[Bearbeiten]

Werden die Ecken eines Polygons mit A,B,C,\ldots bezeichnet, so werden die Innenwinkel meist \alpha, \beta, \gamma, \ldots genannt. Die Ecke A ist dabei der Scheitelpunkt des Winkels \alpha, die Ecke B der Scheitelpunkt des Winkels \beta und so weiter. Bei einem Dreieck wird die dem Winkel \alpha gegenüberliegende Seite mit a bezeichnet, die dem Winkel \beta gegenüberliegende Seite mit b und so fort (siehe Abbildung).[1]

Spezialfälle[Bearbeiten]

Ein nichtkonvexes Fünfeck mit einem Innenwinkel von über 180°
  • In einem konvexen Polygon messen alle Innenwinkel höchstens 180^\circ. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es demnach mindestens eine einspringende Ecke mit einem Innenwinkel von mehr als 180^\circ.
  • Zwei Polygone sind zueinander ähnlich, wenn alle einander entsprechenden Innenwinkel übereinstimmen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Winkelsumme[Bearbeiten]

In einem Dreieck beträgt die Innen­winkel­summe stets α + β + γ = 180°. Die beiden blauen und roten Winkel sind Stufen- bzw. Wechselwinkel an parallelen Geraden und daher gleich groß.
Hauptartikel: Winkelsumme

Die Summe der Innenwinkel eines nicht überschlagenen n-Ecks ergibt sich in der euklidischen Geometrie stets zu

\alpha + \beta + \gamma + \ldots = (n-2)\cdot 180^\circ.

In einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme daher immer 180^\circ, in einem Viereck immer 360^\circ und in einem Fünfeck immer 540^\circ. In einem gleichwinkligen (und damit speziell auch in einem regelmäßigen) Polygon mit n Ecken ergeben sich damit alle Innenwinkel zu

\alpha = \beta = \gamma = \ldots = \frac{n-2}{n} \cdot 180^\circ.

In einem gleichseitigen Dreieck messen daher alle Innenwinkel 60^\circ, in einem Quadrat 90^\circ und in einem regelmäßigen Fünfeck 108^\circ. Diese Aussagen gelten in nichteuklidischen Geometrien jedoch nicht mehr. In einer elliptischen Geometrie, beispielsweise auf einer Kugeloberfläche, ist die Innenwinkelsumme stets größer als in der euklidischen Geometrie, in einer hyperbolischen Geometrie, beispielsweise auf einer Sattelfläche, stets kleiner.

Winkelhalbierende[Bearbeiten]

Dreieck mit Innenwinkel­halbierenden (rot), Außenwinkel­halbierenden (grün), Inkreis (blau) und Ankreisen (orange)

Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Tangentenvielecks, beispielsweise eines Dreiecks oder einer Raute, treffen sich im Inkreismittelpunkt des Vielecks.

In einem Dreieck teilt jede Innenwinkelhalbierende die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der beiden anliegenden Seiten. Zudem schneidet sie die Winkelhalbierenden der beiden nicht anliegenden Außenwinkel im Mittelpunkt des Ankreises der gegenüberliegenden Seite.

Mathematische Sätze[Bearbeiten]

Beziehungen zwischen den Innenwinkeln und den Seiten eines Dreiecks stellen unter anderem der Sinussatz, der Kosinussatz, der Tangenssatz, die Halbwinkelsätze und die mollweideschen Formeln her.

Nach dem Außenwinkelsatz ist jeder Außenwinkel eines Dreiecks gleich der Summe der beiden nichtanliegenden Innenwinkel. Nach dem Satz von Morley ist das Morley-Dreieck, welches durch Drittelung der drei Innenwinkel eines Dreiecks entsteht, stets gleichseitig.

In gleichwinkligen Polygonen gilt der Satz von Viviani, nach dem die Summe der Abstände von einem beliebigen Punkt im Inneren des Polygons zu den Polygonseiten unabhängig von der Position des Punkts ist.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Arnfried Kemnitz: Mathematik zum Studienbeginn. Springer, 2014, S. 131–132.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Innenwinkel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen