Kongruenz (Geometrie)

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In der Geometrie sind zwei Figuren kongruent (deckungsgleich oder gleichförmig) (von lat. congruens = übereinstimmend, passend), wenn sie durch eine Kongruenzabbildung ineinander überführt werden können. Kongruenzabbildungen (auch Bewegungen genannt) sind Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung und die Verknüpfungen dieser Abbildungen.

Die Kongruenz von zwei ebenen geometrischen Figuren lässt sich anschaulich so deuten: Man kann die eine Figur mit der Schere ausschneiden und so auf die andere legen, dass beide genau übereinander liegen, einander also exakt „überdecken“ (→ vergleiche Kongruenzabbildung). Man nennt kongruente ebene Figuren daher auch deckungsgleich. Figuren, die nicht kongruent sind, werden auch inkongruent genannt.

Kongruente ebene Vielecke und räumliche Polyeder zeichnen sich dadurch aus, dass entsprechende Streckenlängen und Winkelgrößen übereinstimmen.

In der absoluten Geometrie heißen zwei Figuren kongruent, wenn eine Bewegung des Punktraumes existiert, durch die die eine Figur bijektiv auf die andere abgebildet wird.

Beispiel[Bearbeiten]

Kongruente und nichtkongruente Figuren

Die ersten beiden Figuren sind kongruent. Die Dritte hat zwar dieselbe Form, ist aber kleiner. Sie ist daher ähnlich zu der ersten und zweiten Figur, aber nicht kongruent. Die letzte Figur hat nicht dieselbe Form, und ist somit weder ähnlich noch kongruent zu den T-förmigen Figuren.

Kongruenz von Dreiecken[Bearbeiten]

Besonders leicht lässt sich die Kongruenz von Dreiecken mithilfe folgender fünf Kongruenzsätze überprüfen, die einfache Kriterien liefern, unter denen zwei Dreiecke kongruent sind:

Stimmen zwei Dreiecke in

  • SSS: drei Seitenlängen oder
  • SWS: zwei Seitenlängen und dem Maß des eingeschlossenen Winkels oder
  • SSW: zwei Seitenlängen und dem Maß des Winkels, der der längeren Seite gegenüberliegt oder
  • WSW: einer Seitenlänge und den Maßen der beiden anliegenden Winkel oder
  • WWS: einer Seitenlänge, dem Maß eines anliegenden und dem des gegenüberliegenden Winkels

überein, dann stimmen sie auch in den anderen Seitenlängen bzw. Winkelmaßen überein und sind damit kongruent.

Kongruenz in der Raumgeometrie[Bearbeiten]

In der Stereometrie (Raum-Geometrie) spricht man bei Polyedern gegebenenfalls auch von der Kongruenz von Ecken, falls zwei Ecken dieselbe Anzahl von Kanten und Flächen mit denselben Winkeln (in derselben Reihenfolge) vereinigen; dabei müssen nicht nur die Winkel in den Seitenflächen des Polyeders gleich sein, sondern auch alle Winkel zwischen entsprechenden Kantenpaaren. Die eine Ecke muss sich ggf. durch eine Kongruenzabbildung in die andere überführen lassen.