Mohrscher Spannungskreis

Bild 1: Mohrscher Kreis für 2D Spannungszustand${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Der Mohrsche Kreis oder auch Mohrsche Spannungskreis, benannt nach Christian Otto Mohr, ist eine Möglichkeit, den 2D-Spannungszustand eines Teilchens zu veranschaulichen oder zu untersuchen.

Dazu wird am Teilchen ein Freischnitt durchgeführt, wodurch der Schnittspannungsvektor t auf der Schnittfläche sichtbar wird. Dieser Spannungsvektor wird zerlegt in seinen Anteil $t_{n}$ senkrecht zur Schnittfläche und seinen Anteil $t_{m}$ parallel zur Schnittfläche. Abhängig vom Winkel $\theta$, unter dem geschnitten wird, lassen sich Paare $(t_{n},t_{m})$ berechnen und in ein Diagramm als Punkte einzeichnen. Die Menge aller Punkte ist der Mohrsche Kreis. An ihm lassen sich z. B. die Hauptspannungen, die Hauptspannungsrichtungen oder die größte Schubspannung ablesen. Dadurch gewinnt man eine anschauliche Vorstellung von der Beanspruchung des Teilchens. Da es Versagenskriterien gibt, bei denen Hauptspannungen oder die größte Schubspannung relevant sind, kann der Mohrsche Kreis in 2D für die Auswertung dieser Kriterien verwendet werden.

Der Mohrsche Kreis kann auch zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors verwendet werden: Sind die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (x,y)-Koordinatensystem gegeben, dann lassen sich mit dem Mohrschen Kreis die Spannungstensor-Komponenten bezogen auf ein kartesisches (n,m)-Koordinatensystem grafisch bestimmen. Vorausgesetzt ist hierbei, dass das (n,m)-Koordinatensystem durch eine Drehung um den Winkel $\theta$ aus dem (x,y)-Koordinatensystem hervorgeht.

Neben dem Cauchy-Spannungstensor können auch andere symmetrische Tensoren mit dem Mohrschen Kreis veranschaulicht oder untersucht werden, z. B. der Verzerrungstensor. Und neben dem Mohrschen Kreis gibt es auch andere Verfahren zur Veranschaulichung symmetrischer Tensoren, z. B. Superquadriken oder Ellipsoide.

Um diesen Artikel vollständig verstehen zu können, benötigt man Kenntnisse in Trigonometrie, Technischer Mechanik, Linearer Algebra, Matrizenrechnung und Vektorrechnung. Einheiten werden in diesem Artikel nicht verwendet.

Schnittspannungsvektor

(x,y)-Komponenten

Bild 2: Teilchen mit Spannung $\sigma$, Normalenvektor n, Schnittspannungsvektor t.

Der Spannungszustand an einem Teilchen ist festgelegt durch den symmetrischen Cauchy-Spannungstensor $\sigma$, welcher meist als (2,0)-Tensor definiert wird. An einem Teilchen X und durch seine unmittelbare Umgebung lässt sich ein Freischnitt führen in beliebiger Richtung. An der entstandenen Schnittfläche lässt sich der Schnittspannungsvektor t (traction vector) berechnen. Der Zusammenhang zwischen dem Spannungstensor und dem Schnittspannungsvektor t ist:

${\begin{aligned}t=\sigma \cdot n\end{aligned}}$

wobei n ein Normalen-Einheitsvektor ist, der senkrecht auf der Schnittfläche steht und „nach außen“ zeigt. Die Komponenten des Spannungsvektors t bezogen auf das kartesische (x,y)-Koordinatensystem werden aus den Komponenten des Spannungstensors und denen des Normalenvektors mittels Matrixmultiplikation bzw. nach der Summenkonvention berechnet als:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\\end{bmatrix}}\qquad \Leftrightarrow \qquad {\begin{cases}{\begin{matrix}t_{x}=\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y}\\t_{y}=\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y}\end{matrix}}\end{cases}}\\t^{i}&=\sigma ^{ij}n_{j}\end{aligned}}$

Wenn an einem Schnittufer n der Normalen-Einheitsvektor ist, ist am gegenüber liegenden Schnittufer -n der Normalen-Einheitsvektor. Damit ist das Reaktionsprinzip mit der Definition des Spannungstensors von vornherein erfüllt, denn:

${\begin{aligned}t(n)&=\sigma \cdot n\\t(-n)&=\sigma \cdot (-n)=-t(n)\end{aligned}}$

Bild 3: Schnitte parallel zu Koordinatenflächen für ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Die Komponenten von t bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem lassen sich für jede beliebige Schnittrichtung berechnen. Besonders einfach ist die Berechnung für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen. Die 4 möglichen Schnitte parallel zu x=const oder y=const sind im Bild 3 dargestellt. Hierbei sind positive Schnittufer grün und negative rot. Aus der Zeichnung liest man folgenden Zusammenhang zwischen den Komponenten des Schnittspannungsvektors und den Komponenten des Spannungstensors ab:

Schnitt	Normale $n$	$n_{x}$	$n_{y}$	$t_{x}=\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y}$	$t_{y}=\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y}$
x=const	$\color {magenta}\rightarrow$	$1$	$0$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
y=const	$\color {magenta}\uparrow$	$0$	$1$	$\tau _{xy}$	$\sigma _{yy}$
x=const	$\color {magenta}\leftarrow$	$-1$	$0$	$-\sigma _{xx}$	$-\tau _{xy}$
y=const	$\color {magenta}\downarrow$	$0$	$-1$	$-\tau _{xy}$	$-\sigma _{yy}$

Die (x,y)-Komponenten des Schnittspannungsvektors lassen sich für diese 4 Schnittrichtungen also sehr leicht aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors bestimmen. Bei x=const am positiven Schnittufer (Bild 3 rechts, Normalenvektor zeigt nach rechts) gilt – wie man auch aus der letzten Tabelle abliest:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}^{\color {magenta}\rightarrow }\\t_{y}^{\color {magenta}\rightarrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}\\\tau _{xy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Bei y=const am positiven Schnittufer (Bild 3 oben, Normalenvektor zeigt nach oben) gilt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}^{\color {magenta}\uparrow }\\t_{y}^{\color {magenta}\uparrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\tau _{xy}\\\sigma _{yy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Am negativen Schnittufer bei x=const (links) gilt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}^{\color {magenta}\leftarrow }\\t_{y}^{\color {magenta}\leftarrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-\sigma _{xx}\\-\tau _{xy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Und am negativen Schnittufer bei y=const (unten) gilt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}^{\color {magenta}\downarrow }\\t_{y}^{\color {magenta}\downarrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-\tau _{xy}\\-\sigma _{yy}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Komponenten des Spannungstensors lassen sich durch den eben dargestellten Zusammenhang zum Schnittspannungsvektor anschaulich als Kräfte pro Fläche interpretieren. Und der Mohrsche Kreis beschreibt, wie diese Kräfte von der Schnittrichtung abhängen.

(n,m)-Komponenten

Bild 4: Parametrisierung: Zusammenhang zwischen $(t_{x},t_{y})$ und $(t_{n},t_{m})$ abhängig von $\theta$

Bild 5: $(t_{n},t_{m})$ für 12 Schnittwinkel $\theta$ am Beispiel ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Im Abschnitt #(x,y)-Komponenten wurden die Komponenten von t bezogen auf das blaue (x,y)-Koordinatensystem angegeben. Jetzt werden die Komponenten von t bezogen auf ein von der Schnittrichtung abhängiges (n,m)-Koordinatensystem angegeben. Der Normalen-Einheitsvektor n, der die Schnittrichtung angibt, sei um den Winkel $\theta$ gegenüber der x-Achse gedreht. Mit den Abkürzungen:

${\begin{aligned}{\text{c}}_{\theta }&=\cos \theta &\qquad {\text{s}}_{\theta }&=\sin \theta \\{\text{c}}_{2\theta }&=\cos(2\theta )&\qquad {\text{s}}_{2\theta }&=\sin(2\theta )\end{aligned}}$

sind die (x,y)-Komponenten der Einheitsvektoren n und m:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}&\qquad {\begin{bmatrix}m_{x}\\m_{y}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Anteile von t in Richtung n bzw. m seien definiert als:

${\begin{aligned}t_{n}:&=t\cdot n\\&=t_{x}n_{x}+t_{y}n_{y}\\t_{m}:&=t\cdot m\\&=t_{x}m_{x}+t_{y}m_{y}\\\end{aligned}}$

Die (x,y)-Komponenten von t hängen von den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors und von der Schnittrichtung n (und damit von $\theta$) ab. Weiterhin hängen auch die (x,y)-Komponenten von n und m von $\theta$ ab. Durch das Einsetzen dieser Abhängigkeiten und mit Hilfe einfacher Umformungen

Umformungen

${\begin{aligned}t_{n}(\theta )&=t_{x}{\text{c}}_{\theta }+t_{y}{\text{s}}_{\theta }\\&=(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }){\text{c}}_{\theta }+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }){\text{s}}_{\theta }\\&=\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }^{2}+2\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }^{2}\\&=\sigma _{xx}{\tfrac {1+{\text{c}}_{2\theta }}{2}}+\tau _{xy}{\text{s}}_{2\theta }+\sigma _{yy}{\tfrac {1-{\text{c}}_{2\theta }}{2}}\\&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{c}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{2\theta }\\t_{m}(\theta )&=-t_{x}{\text{s}}_{\theta }+t_{y}{\text{c}}_{\theta }\\&=-(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }){\text{s}}_{\theta }+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }){\text{c}}_{\theta }\\&=-\sigma _{xx}{\text{s}}_{\theta }{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}(-{\text{s}}_{\theta }^{2}+{\text{c}}_{\theta }^{2})+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }{\text{c}}_{\theta }\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{s}}_{\theta }{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}(-{\text{s}}_{\theta }^{2}+{\text{c}}_{\theta }^{2})\\&=-(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\tfrac {1}{2}}{\text{s}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{c}}_{2\theta }\\\end{aligned}}$

erhält man (siehe hierzu auch Bild 4):

${\begin{aligned}t_{n}(\theta )-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{c}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{2\theta }\\t_{m}(\theta )&=-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{s}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{c}}_{2\theta }\end{aligned}}$

Auf diesen beiden Gleichungen basiert die Konstruktion des Mohrschen Kreises. Für das Beispiel:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

sind diese Formeln im Bild 5 für 12 verschiedene Winkel ausgewertet.

Bild 5 zeigt nicht den Mohrschen Kreis. Sondern Bild 5 veranschaulicht die Formeln für $t_{n}$ und $t_{m}$. Man sieht an jedem Schnitt den dort wirkenden Schnittspannungsvektor (blau) und seine (n,m)-Komponenten - also seine Komponenten in Bezug auf das (n,m)-Koordinatensystem, welches den jeweiligen Schnitt kennzeichnet (rosa).

Den Mohrschen Kreis erhält man, indem man $t_{m}$ über $t_{n}$ aufträgt – indem man also ein Diagramm zeichnet, worin die Paare $(t_{n},t_{m})$ als Punkte dargestellt sind. Dies wird im folgenden Abschnitt getan.

Für Schnitte parallel zu den Koordinatenflächen ist:

Schnitt	$\theta$	Normale $n$	$n_{x}$	$n_{y}$	$t_{x}$	$t_{y}$	$m_{x}$	$m_{y}$	$t_{n}=t_{x}n_{x}+t_{y}n_{y}$	$t_{m}=t_{x}m_{x}+t_{y}m_{y}$
x=const	$0^{\circ }$	$\color {magenta}\rightarrow$	$1$	$0$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$	$0$	$1$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
y=const	$90^{\circ }$	$\color {magenta}\uparrow$	$0$	$1$	$\tau _{xy}$	$\sigma _{yy}$	$-1$	$0$	$\sigma _{yy}$	$-\tau _{xy}$
x=const	$180^{\circ }$	$\color {magenta}\leftarrow$	$-1$	$0$	$-\sigma _{xx}$	$-\tau _{xy}$	$0$	$-1$	$\sigma _{xx}$	$\tau _{xy}$
y=const	$270^{\circ }$	$\color {magenta}\downarrow$	$0$	$-1$	$-\tau _{xy}$	$-\sigma _{yy}$	$1$	$0$	$\sigma _{yy}$	$-\tau _{xy}$

Kreisgleichung und Hauptspannungen

Kreisgleichung

Bild 6: Mohrscher Kreis für ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}\qquad$, Punkte bei $\theta =0,30,60,90,120,150$ Grad, s. Bild 5

Aus den Gleichungen für $t_{n}$ und $t_{m}$ wird die Kreisgleichung des Mohrschen Kreises abgeleitet. Quadrieren beider Gleichungen liefert zunächst:

${\begin{aligned}\left(t_{n}-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\right)^{2}&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{c}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{2\theta }\right)^{2}\\t_{m}^{2}&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{s}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{c}}_{2\theta }\right)^{2}\end{aligned}}$

Und durch Addieren dieser Gleichungen erhält man die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt bei (a,b), nämlich:

${\begin{aligned}(t_{n}-a)^{2}+(t_{m}-b)^{2}&=R^{2}\\(t_{n}-\underbrace {{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})} _{a})^{2}+(t_{m}^{2}-\underbrace {0} _{b})^{2}&=\underbrace {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}} _{R^{2}}\end{aligned}}$

Der Mittelpunkt des Mohrschen Kreises liegt bei:

${\begin{aligned}\left(t_{n},t_{m}\right)=\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}),0\right)\end{aligned}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

${\begin{aligned}\left(a,b\right)&=\left({\tfrac {1}{2}}(-1+5),0\right)\\&=\left(2,0\right)\\\end{aligned}}$

Und der Radius beträgt:

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\end{aligned}}$

Für das Beispiel ergibt sich (vgl. Bild 6):

${\begin{aligned}R&={\sqrt {\left({\tfrac {1}{2}}(-1-5)\right)^{2}+4^{2}}}\\&={\sqrt {9+16}}\\&=5\end{aligned}}$

Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen

Bild 7: Freischnitte entlang der Hauptspannungsrichtungen und (n,m)-Komponenten von t für ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Die Hauptspannungen sind die Eigenwerte (der Komponenten-Matrix) des Spannungstensors. Die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenwerte ist:

${\begin{aligned}\det \left({\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda &\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda \\\end{bmatrix}}\right)&=0\end{aligned}}$

Einfache Umformungen

Umformungen

${\begin{aligned}(\sigma _{xx}-\lambda )(\sigma _{yy}-\lambda )-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda ^{2}-\lambda (\sigma _{xx}+\sigma _{yy})+\sigma _{xx}\sigma _{yy}-\tau _{xy}^{2}&=0\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})^{2}-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}+2\sigma _{xx}\sigma _{yy})-\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}^{2}+\sigma _{yy}^{2}-2\sigma _{xx}\sigma _{yy})+\tau _{xy}^{2}}}\\\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{4}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\\\end{aligned}}$

führen auf:

${\begin{aligned}\lambda _{1/2}&={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}+\sigma _{yy})\pm R\end{aligned}}$

so dass man die Hauptspannungen als Schnittpunkte des Kreises mit der $t_{n}$-Achse abliest. Für das konkrete Beispiel ergeben sich die Hauptspannungen:

${\begin{aligned}\lambda _{1/2}&=2\pm 5\end{aligned}}$

Es gibt verschiedene Methoden, um die Hauptspannungsrichtungen zu bestimmen.

Berechnung aus Kreisgleichung

Im Spezialfall $t_{m}=0$ ist t parallel zum Normalenvektor n.

Aus der Kreisgleichung folgt dann:

${\begin{aligned}0&=\left(-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{xx}-\sigma _{yy}){\text{s}}_{2\theta }+\tau _{xy}{\text{c}}_{2\theta }\right)^{2}\\\tan(2\theta )&={\tfrac {2\tau _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}\end{aligned}}$

Und für das Beispiel ergeben sich die positiven Schnittwinkel:

${\begin{aligned}\tan(2\theta )&=-{\tfrac {4}{3}}\\2\theta &\approx 127^{\circ },307^{\circ },\dots \\\theta &\approx 63^{\circ },153^{\circ },\dots \end{aligned}}$

Berechnung aus Eigenvektoren

Die Richtungen lassen sich alternativ mit den Eigenvektoren bestimmen. Der zu $\lambda _{1}=7$ gehörende Eigenvektor $v_{1}$ ist Lösung von:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}-\lambda _{1}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}-\lambda _{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=0\\{\begin{bmatrix}v_{1_{x}}\\v_{1_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Hauptspannungsrichtung für $\lambda _{2}=-3$ ergibt sich entsprechend zu:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{2_{x}}\\v_{2_{y}}\end{bmatrix}}&=\alpha {\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Nun liegen die (x,y)-Komponenten beider Eigenvektoren fest. Der Winkel zwischen x-Achse und erstem Eigenvektor ist damit:

${\begin{aligned}\tan(\theta )&={\tfrac {2}{1}}\\\theta &\approx 63^{\circ }\end{aligned}}$

Die zweite Eigenrichtung ist um 90 Grad gegenüber der ersten gedreht, so dass:

${\begin{aligned}\theta &\approx 63^{\circ }+90^{\circ }=153^{\circ }\end{aligned}}$

Mohrscher Kreis: Konstruktion und Auswertung

Bild 8: Mohrscher Kreis, Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungen für Beispiel ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Konstruktion

Die Konstruktion des Mohrschen Kreises geschieht wie in Bild 8 dargestellt nach folgendem Schema:

1. Zeichnen eines kart. Koordinatensystems für Punkte $(t_{n},t_{m})$ und Eintragen der zwei Punkte
   • A $=\left(t_{n}(0^{\circ }),t_{m}(0^{\circ })\right)=\left(\sigma _{xx},\tau _{xy}\right)$
   • B $=\left(t_{n}(90^{\circ }),t_{m}(90^{\circ })\right)=\left(\sigma _{yy},-\tau _{xy}\right)$
2. Verbinden der Punkte A und B durch eine Gerade (strich-punktierte Linie). Und Zeichnen eines Kreises durch Punkt A (oder B), dessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Geraden mit der $t_{n}$-Achse ist.
3. Eintragen der Punkte $(\lambda _{1},0)$ und $(\lambda _{2},0)$ und Verbinden dieser Punkte mit A (blaue bzw. rote gestrichelte Linie).

Auswertung

1. Schnittrichtung / Schnittspannung

Jeder Punkt auf dem Mohrschen Kreis in Bild 8 entspricht einem Schnittwinkel $\theta$ in Bild 4 oder Bild 5. In Bild 4 oder Bild 5 ist $0^{\circ }\leq \theta \leq 360^{\circ }$ der Winkel zwischen der x-Achse und dem Normaleneinheitsvektor n, der senkrecht auf der Schnittfläche steht. In Bild 8 ist $0\leq 2\theta \leq 360^{\circ }$: Bei A ist $2\theta =0^{\circ }$. Und bei B ist $2\theta =180^{\circ }$. Der Winkel $\theta$ ist also einerseits der Winkel zwischen der x-Achse und dem dem Normaleneinheitsvektor n - ausgehend von x entgegen dem Uhrzeigersinn positiv gezählt (in Bild 4 oder Bild 5). Und andererseits ist $2\theta$ im Mohrschen Kreis bzw. Bild 8 der Winkel zwischen A und dem zur jeweiligen Schnittrichtung passenden Punkt $(t_{n},t_{m})$ - von A ausgehend im Uhrzeigersinn positiv gezählt.

Für jeden vorgegebenen Schnittwinkel $\theta$ kann man sich also in Bild 4 oder Bild 5 veranschaulichen, in welcher Richtung geschnitten wird. Und im Mohrschen Kreis in Bild 8 liest man den zu dieser Schnittrichtung passenden Schnittspannungsvektor ab - nämlich den Punkt $(t_{n},t_{m})$ an der Stelle $2\theta$ von A ausgehend gezählt.

2. Hauptspannungen / Hauptspannungsrichtungen

An den Schnittpunkten des Kreises mit der $t_{n}$-Achse sind die (n,m)-Komponenten der Spannungsvektoren $(t_{n},t_{m})=(\lambda _{1},0)$ bzw. $(t_{n},t_{m})=(\lambda _{2},0)$. Der Schnittspannungsvektor t ist an diesen Schnittpunkten also parallel zu n, und darum sind $\lambda _{1}$ bzw. $\lambda _{2}$ die Hauptspannungen. Die zugehörigen Hauptspannungsrichtungen sind festgelegt durch

• die Schnittwinkel $\theta _{1}$ bzw. $\theta _{2}$, d. h. die Hälfte der blau bzw. rot gekennzeichneten Winkel $2\theta _{1}$ bzw. $2\theta _{2}$, vgl. Bild 8 – oder
• die blaue bzw. rote gestrichelte Linie, d. h. die Schnittrichtungen, vgl. Bild 8 – oder
• den blauen bzw. roten Pfeil, d. h. die Eigenvektoren $v_{1}$ bzw. $v_{2}$, vgl. Bild 8.

3. Extremwerte der Schubspannung

Der Radius des Kreises ist die größte auftretende Schubspannung, d.h.

${\begin{aligned}\tau _{max}&=t_{m_{max}}=R\\\tau _{min}&=t_{m_{min}}=-R\\\end{aligned}}$

Die zugehörigen Schnittwinkel sind um $45^{\circ }$ versetzt zu den Schnittwinkeln, unter denen die Hauptspannungen auftreten.

Spezialfall: Wenn der Deviator-Anteil des Spannungstensors Null ist - d.h. wenn der Spannungstensor ein Kugeltensor ist - entartet der Kreis zu einem Punkt. Für die Komponenten des Spannungstensors gilt dann in jedem Koordinatensystem:

${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}=\alpha {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

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Tensorkomponenten aus zwei Schnitten

Bild 9: Spannungstensor-Komponenten $\sigma _{xx},\tau _{xy},\sigma _{yy}$ bezogen auf das (x,y)-Koordinatensystem; Spannungstensor-Komponenten $\sigma _{nn},\tau _{nm},\sigma _{mm}$ bezogen auf das um $\theta$ gedrehte (n,m)-Koordinatensystem für Beispiel ${\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&4\\4&5\end{bmatrix}}$

Sei genau ein (n,m)-Koordinatensystem definiert, welches um einen Winkel $\theta$ gegenüber dem (x,y)-Koordinatensystem gedreht, siehe Bild 9. Seien weiterhin die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf dieses eine (n,m)-Koordinatensystem $\sigma _{nn},\tau _{nm}=\tau _{mn},\sigma _{nn}$. Wie im Abschnitt #(x,y)-Komponenten gezeigt, lassen sich die Komponenten des Schnittspannungsvektors in Bezug auf dieses eine Koordinatensystem direkt angeben, wenn man parallel zu den Basisvektoren des Koordinatensystems schneidet.

Für einen Schnitt senkrecht zu n am positiven Schnittufer gilt:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{n}^{\color {magenta}\nearrow }\\t_{m}^{\color {magenta}\nearrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{nn}\\\tau _{nm}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Und für einen Schnitt senkrecht zu m am positiven Schnittufer:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{n}^{\color {magenta}\nwarrow }\\t_{m}^{\color {magenta}\nwarrow }\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\tau _{nm}\\\sigma _{mm}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Kennt man $t_{n}^{\color {magenta}\nearrow },t_{m}^{\color {magenta}\nearrow },t_{m}^{\color {magenta}\nwarrow }$, dann kennt man damit auch die Komponenten des Spannungstensors bezogen auf das eine (n,m)-Koordinatensystem, nämlich $\sigma _{nn},\tau _{nm}$ und $\sigma _{mm}$. Der Zusammenhang zu den oben verwendeten Symbolen $t_{n}$ und $t_{m}$ ist:

${\begin{aligned}t_{n}^{\color {magenta}\nearrow }&=t_{n}(\theta )\\t_{m}^{\color {magenta}\nearrow }&=t_{m}(\theta )\\t_{n}^{\color {magenta}\nwarrow }&=-t_{m}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})\\t_{m}^{\color {magenta}\nwarrow }&=t_{n}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})\\\end{aligned}}$

Einsetzen liefert:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{nn}\\\tau _{nm}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}t_{n}(\theta )\\t_{m}(\theta )\\\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}\tau _{nm}\\\sigma _{mm}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}-t_{m}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})\\t_{n}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{m}(\theta )\\t_{n}(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die letzten Formeln ermöglichen es, die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein um einen Winkel $\theta$ gedrehtes Koordinatensystem zu berechnen. Die Funktionen $t_{n}$ und $t_{m}$, die dazu verwendet werden, sind dieselben wie die zur Konstruktion des Mohrschen Kreises. Und darum kann man die Komponenten des Spannungstensors in Bezug auf ein gedrehtes Koordinatensystem auch aus dem Mohrschen Kreis ablesen, siehe hierzu Bild 9.

Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung

Diese (n,m)-Komponenten des Spannungstensors lassen sich auch direkt aus den (x,y)-Komponenten des Spannungstensors berechnen. Denn der Koordinatenwechsel von (x,y) auf (n,m) erzeugt folgende Transformationsbeziehung (auch Pushforward genannt) für die Komponenten des (2,0)-Spannungstensors:

${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}\sigma _{nn}&\tau _{nm}\\\tau _{nm}&\sigma _{mm}\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&{\text{s}}_{\theta }\\-{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy}&{\text{c}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{s}}_{\theta }\sigma _{yy}\\-{\text{s}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{c}}_{\theta }\tau _{xy}&-{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{c}}_{\theta }\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}({\text{c}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy}){\text{c}}_{\theta }+({\text{c}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{s}}_{\theta }\sigma _{yy}){\text{s}}_{\theta }&({\text{c}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy})(-{\text{s}}_{\theta })+({\text{c}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{s}}_{\theta }\sigma _{yy}){\text{c}}_{\theta }\\(-{\text{s}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{c}}_{\theta }\tau _{xy}){\text{c}}_{\theta }+(-{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{c}}_{\theta }\sigma _{yy}){\text{s}}_{\theta }&(-{\text{s}}_{\theta }\sigma _{xx}+{\text{c}}_{\theta }\tau _{xy})(-{\text{s}}_{\theta })+(-{\text{s}}_{\theta }\tau _{xy}+{\text{c}}_{\theta }\sigma _{yy}){\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\\=&{\begin{bmatrix}(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }){\text{c}}_{\theta }+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }){\text{s}}_{\theta }&-(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }){\text{s}}_{\theta }+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }){\text{c}}_{\theta }\\-(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta }+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta }){\text{s}}_{\theta }+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta }+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta }){\text{c}}_{\theta }&(\sigma _{xx}{\text{c}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}+\tau _{xy}{\text{s}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}){\text{c}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}+(\tau _{xy}{\text{c}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}+\sigma _{yy}{\text{s}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}){\text{s}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

wobei als Abkürzungen verwendet wurden:

${\begin{aligned}{\text{c}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}&=\cos \left(\theta +{\tfrac {\pi }{2}}\right)=-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta +{\tfrac {\pi }{2}}}&=\sin \left(\theta +{\tfrac {\pi }{2}}\right)={\text{c}}_{\theta }\\\end{aligned}}$

Vergleich mit den Gleichungen für $t_{n}$ und $t_{m}$ aus Abschnitt #(n,m)-Komponenten liefert:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{nn}&\tau _{nm}\\\tau _{nm}&\sigma _{mm}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}t_{n}(\theta )&t_{m}(\theta )\\t_{m}(\theta )&t_{n}\left(\theta +{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Dieses Ergebnis ist äquivalent zum Ergebnis aus dem letzten Abschnitt, siehe hierzu auch Bild 9.

Umrechnung der Flächenträgheitsmomente

Die Transformationsformeln für Flächenträgheitsmomente können auf demselben Weg bestimmt werden wie Transformationsregeln für die Komponenten des Spannungstensors. Der Spannungstensor ist eine lineare Abbildung zwischen Vektoren gemäß:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t_{x}\\t_{y}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\end{bmatrix}}\\\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}t_{x}'\\t_{y}'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}'&\tau _{xy}'\\\tau _{xy}'&\sigma _{yy}'\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}'\\n_{y}'\end{bmatrix}}\\\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}t_{n}\\t_{m}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\sigma _{nn}&\tau _{nm}\\\tau _{nm}&\sigma _{mm}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{n}\\n_{m}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Damit diese Abbildungen unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems gelten, müssen die Komponenten des Spannungstensors folgenden Transformationsregeln erfüllen:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}\sigma _{nn}&\tau _{nm}\\\tau _{nm}&\sigma _{mm}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}'&\tau _{xy}'\\\tau _{xy}'&\sigma _{yy}'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&{\text{s}}_{\theta }\\-{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Völlig analog gilt bei einem Profilstab zwischen Biegemomenten $M_{y},M_{z}$ und Verkrümmungen $\psi _{y},\psi _{z}$ (bezogen auf die Neutralachse) der lineare Zusammenhang:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}M_{y}\\M_{z}\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}EI_{y}&-EI_{yz}\\-EI_{yz}&EI_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\psi _{y}\\\psi _{z}\end{bmatrix}}\\\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}M_{y}'\\M_{z}'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}EI_{y}'&-EI_{yz}'\\-EI_{yz}'&EI_{z}'\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\psi _{y}'\\\psi _{z}'\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Die Momente und die Verkrümmungen tansformieren sich wie Pseudovektoren - also bei Drehung des Koordinatensystems wie Vektoren. Und darum ist die Transformationsregel für die Flächenträgheitsmomente:

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}EI_{y}'&-EI_{yz}'\\-EI_{yz}'&EI_{z}'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&{\text{s}}_{\theta }\\-{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}EI_{y}&-EI_{yz}\\-EI_{yz}&EI_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\\\Leftrightarrow {\begin{bmatrix}I_{y}'&-I_{yz}'\\-I_{yz}'&I_{z}'\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&{\text{s}}_{\theta }\\-{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{y}&-I_{yz}\\-I_{yz}&I_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&-{\text{s}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Der Mohrsche Kreis kann also zur Umrechnung der Flächenträgheitsmomente bei Koordinatenwechsel ebenso verwendet werden wie zur Umrechnung der Komponenten des Spannungstensors.

Multilineare Abbildung

Der Spannungstensor ist eine Multilineare Abbildung derart, dass man definieren kann:

${\begin{aligned}t_{n}&:=\sigma (n,n)=n\cdot (\sigma \cdot n)=n_{i}\sigma ^{ij}n_{j}\\t_{m}&:=\sigma (m,n)=\sigma (n,m)=m\cdot (\sigma \cdot n)=m_{i}\sigma ^{ij}n_{j}\\\end{aligned}}$

Dies ist äquivalent zu den Definitionen weiter oben für $t_{n}$ und $t_{m}$.

$t_{n}$ und $t_{m}$ sind physikalische Größen (Kraft pro Fläche in einer bestimmten Richtung). Und diese Größen müssen, weil sie Skalare sind, unabhängig vom gewählten Koordinatensystem sein (Invarianz ggü. Koordinatenwechsel). Für Vektoren und Tensoren gilt entsprechend, dass sie sich unter Koordinatenwechsel auf eine ganz bestimmte Art transformieren. So gilt z. B. für den (2,0)-Spannungstensor bei einer Drehung des Koordinatensystems das Transformationsgesetz aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung.

Für die Skalare $t_{n}$ und $t_{m}$ muss in jedem Koordinatensystem gelten:

${\begin{aligned}t_{n}&=n_{i}\sigma ^{ij}n_{j}=n_{i}t^{i}\\t_{m}&=m_{i}\sigma ^{ij}n_{j}=m_{i}t^{i}\\\end{aligned}}$

Berechnet man $t_{n}$ mit dieser Formel einerseits im (x,y)-Koordinatensystem und andererseits in einem beliebigen (n,m)-Koordinatensystem, so sieht man:

${\begin{aligned}t_{n}=n_{x}(\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y})+n_{y}(\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y})&=n_{n}(\sigma _{nn}n_{n}+\tau _{xy}n_{m})+n_{m}(\tau _{nm}n_{n}+\sigma _{mm}n_{m})\\{\begin{bmatrix}n_{x}&n_{y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\end{bmatrix}}&=1(\sigma _{nn}\cdot 1+0)+0(\tau _{nm}\cdot 1+0)\\{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }&{\text{s}}_{\theta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }\end{bmatrix}}&=\sigma _{nn}\end{aligned}}$

wobei links die Berechnung im (x,y)-Koordinatensystem geschieht und rechts im (n,m)-Koordinatensystem.

Berechnet man $t_{m}$ entsprechend, so sieht man:

${\begin{aligned}t_{m}=m_{x}(\sigma _{xx}n_{x}+\tau _{xy}n_{y})+m_{y}(\tau _{xy}n_{x}+\sigma _{yy}n_{y})&=m_{n}(\sigma _{nn}n_{n}+\tau _{xy}n_{m})+m_{m}(\tau _{nm}n_{n}+\sigma _{mm}n_{m})\\{\begin{bmatrix}m_{x}&m_{y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}n_{x}\\n_{y}\end{bmatrix}}&=0+1(\tau _{nm}\cdot 1+0)\\{\begin{bmatrix}-{\text{s}}_{\theta }&{\text{c}}_{\theta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{xy}&\sigma _{yy}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\text{c}}_{\theta }\\{\text{s}}_{\theta }\end{bmatrix}}&=\tau _{nm}\end{aligned}}$

Aus der Definition des Spannungstensors als Multilineare Abbildung und aus der Definition von $t_{n}$ und $t_{m}$ wie gezeigt, erkennt man den Zusammenhang zwischen den Komponenten des Spannungstensors und den Komponenten des Schnittspannungsvektors, nämlich $t_{n}$ und $t_{m}$, als

${\begin{aligned}t_{n}&=\sigma _{nn}\\t_{m}&=\tau _{nm}\end{aligned}}$

Das bedeutet in Worten, dass die Normal-Komponente des Spannungstensors dem Normal-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht. Und dass die Schub-Komponente des Spannungstensors dem Schub-Anteil des Schnittspannungsvektors gleicht -- wenn die Komponenten des Spannungstensors auf das (n,m)-Koordinatensystem bezogen sind. Weiterhin erkennt man, dass die Forderung nach Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel bei Skalaren äquivalent ist zum Transformationsgesetz für den Spannungstensor aus #Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung -- wenn der Koordinatenwechsel einer ebenen Drehung entspricht.

Programm zum Ausprobieren

Bild 10: Plot einiger Paare $(t_{n},t_{m})$, erzeugt mit nebenstehendem Programm

mit Matplotlib und NumPy

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import pi, sin, cos, array, transpose, dot
from numpy import radians, degrees, set_printoptions


#         [s_xx  t_xy ]     [-1  4 ]
#  S_xy = [           ]  =  [      ]
#         [t_xy  s_yy ]     [ 4  5 ]

# ---
# --- User input:
# ---

# 1: Stress tensor components:
(s_xx, s_yy, t_xy)  = (-1, 5, 4)

# 2: List of angles theta in degrees:
th_deg = array( [0., 30., 60., 90., 120., 150.] )


# ---
# --- Program output:
# ---

# theta   [ t_n, t_m ]

# 0.0     [-1.  4.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
# ...

# theta   [ s_nn, t_nm ]
#         [ t_nm, s_mm ]

# 0.0     [-1.  4.]
#         [ 4.  5.]
# 30.0    [ 3.96  4.6 ]
#         [ 4.6   0.04]
# 60.0    [ 6.96  0.6 ]
#         [ 0.6  -2.96]
# ...


# ---
# --- Program:
# ---

# Matrix of components::
S_xy = array([ [ s_xx,  t_xy],
               [ t_xy,  s_yy] ])

# Yes
half = 0.5
two  = 2.0

# Some functions for later use:
def c2(th):
    """ computes cos(2 theta) """
    return cos(two*th)

def s2(th):
    """ computes sin(2 theta) """
    return sin(two*th)

def get_t_n(th):
    """
    computes t_n(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_n = half*(s_xx + s_yy) + half*(s_xx - s_yy) * c2(th) + t_xy*s2(th)
    return t_n

def get_t_m(th):
    """
    computes t_m(theta) as in section
    "(n,m)-Komponenten"
    """
    t_m = - half*(s_xx - s_yy) * s2(th) + t_xy * c2(th)
    return t_m

def get_t_nm(th):
    """
    computes pair (t_n, t_m)
    """
    t_n = get_t_n(th)
    t_m = get_t_m(th)
    return array([t_n, t_m])

def get_R(th):
    """
    computes rotation matrix as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    Rt = array([ [ cos(th),  sin(th)],
                 [-sin(th),  cos(th)] ] )
    return Rt

def get_S_nm(th):
    """
    computes S_nm = R * S_xy * R^T as in section
    "Tensorkomponenten aus Transformationsbeziehung"
    """
    R = get_R(th)
    R_T = R.transpose()
    S_nm = dot( dot(R, S_xy), R_T )
    return S_nm


# Compute and plot some pairs (t_n, t_m):

# theta in radians:
thetas = array( [ radians(a) for a in th_deg ] )

# for prettier printing:
set_printoptions(precision=2)

print ()
print ("theta   [ t_n, t_m ]")
print ()
for th in thetas:
    tn_tm = get_t_nm(th)
    print (degrees(th),"  ", tn_tm)

print ()
print ("theta   [ s_nn, t_nm ]")
print ("        [ t_nm, s_mm ]")
print ()
for th in thetas:
    S_nm = get_S_nm(th)
    print (degrees(th), "  ", S_nm[0])
    print ("       ",         S_nm[1])


# Now plot these pairs (t_n, t_m):

# theta --> t_n(theta):
t_n = list(map(get_t_n, thetas))
# theta --> t_m(theta):
t_m = list(map(get_t_m, thetas))

# color = theta in degrees:
color = degrees(thetas)

# make the circle be a circle:
plt.axis("equal")

# plot some colored points:
plt.scatter(t_n, t_m, s=100, c=color)

# add colorbar:
cbar = plt.colorbar()

# plt.clim(0,180.)
# add ticks to colorbar:
cbar.set_ticks(degrees(thetas))

# show plot:
plt.show()

Literatur

• F. Jung: Der Culmannsche und der Mohrsche Kreis. In: Österreichisches Ingenieur-Archiv. 1, Nr. 4–5, 1946/47, ISSN 0369-7819, S. 408–410.
• Istvan Szabo: Einführung in die Technische Mechanik. Springer, 1984, ISBN 3-540-13293-7.
• Jerrold E. Marsden, Thomas J. R. Hughes: Mathematical Foundations of Elasticity. 1994, ISBN 0-486-67865-2.
• Walter Noll, Clifford Truesdell: The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Springer-Verlag, New York 1965, ISBN 3-540-02779-3.
• Walter Noll: Foundations of Mechanics and Thermodynamics, Selected Papers. Springer-Verlag, New York 1974, ISBN 0-387-06646-2.
• Stephen P. Timoshenko, James Norman Goodier: Theory of Elasticity. 3. Auflage. McGraw-Hill International Editions, 1970, ISBN 0-07-085805-5. 
• Stephen P. Timoshenko: History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures (= Dover Books on Physics). Dover Publications, 1983, ISBN 0-486-61187-6. 
• Johannes Wiedemann: Leichtbau, Band 1: Elemente. Springer, 1986, ISBN 3-540-16404-9. 

Weblinks

Commons: Mohr's circle – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Visualisierung symmetrischer Tensoren mit Superquadriken