Wirkungs-Winkelkoordinaten

Wirkungs-Winkelkoordinaten, auch Wirkungs-Winkelvariablen, sind ein Satz kanonisch-konjugierter Koordinaten, mit denen sich Dynamische Systeme vereinfachen lassen. Mit der Transformation zu Wirkungs-Winkelkoordinaten lassen sich Eigenfrequenzen von Oszillatoren bestimmen, ohne die Bewegungsgleichungen des Systems lösen zu müssen. Wirkungs-Winkelkoordinaten eignen sich besonders, wenn die Hamilton–Jacobi Gleichungen separabel sind. Die Hamiltonfunktion hängt dann nicht explizit von der Zeit ab, sodass die Gesamtenergie des Systems erhalten ist. Die Wirkungs-Winkelkoordinaten definieren invariante Tori im Phasenraum. Die Oberfläche eines Torus sind Flächen konstanter Wirkung.

Anwendungsgebiete

Nach den Quantisierungsbedingungen für das Bohr-sommerfeldsches Atommodell muss die Wirkung ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums betragen, und auch in der modernen Quantenmechanik lassen sich die Schwierigkeiten nicht-integrable Systeme zu quantisieren durch Wirkungs-Winkelkoordinaten ausdrücken.

Wirkungs-Winkelkoordinaten sind ebenfalls nützlich in der Störungstheorie der Hamiltonschen Mechanik, besonders um adiabatische invarianten zu bestimmen. Eines der ersten Ergebnisse der Chaostheorie für nichtlineare Störungen dynamischer Systeme ist das KAM Theorem, welches Aussagen über die Stabilität der invarienten Tori trifft.

Wirkungs-Winkelkoordinaten werden für die Lösung des Toda-Gitters, die Definition von Lax-Paaren, oder die Idee der isospektralen Entwicklung von Systemen gebraucht.

Definition und Herleitung

Die Wirkungswinkel lassen sich durch eine kanonische Transformation zweiter Art herleiten, bei der die erzeugende Funktion die zeitunabhängige charakteristische Hamiltonfunktion $W({\vec {q}})$ (nicht die Hamiltonsche Wirkungsfunktion $S$). Da die ursprüngliche Hamiltonfuktion $H({\vec {q}},{\vec {p}})$ nicht explizit von der Zeit abhängt, ist die neue Hamiltonfunktion $K({\vec {w}},{\vec {J}})$ nichts anderes als die alte, in neuen kanonischen Koordinaten ausgerückt. Die neuen Koordinaten sind ${\vec {w}}$, die Wirkungswinkel, welche den generalisierten Koordinaten entsprechen und deren generalisierte Impulse ${\vec {J}}$. Die erzeugende Funktion $W$ wird hier lediglich benutzt um die neuen und alten Koordinaten zu verknüpfen, auf die explizite Form soll nicht weiter eingegangen werden.

Anstatt die Wirkungswinkel ${\vec {w}}$ direkt zu definieren, ist es einfacher erst deren generalisierte Impulse ${\vec {J}}$ zu bestimmen:

$J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}$

wobei der Integrationsweg implizit durch die Bedingung einer konstanten Energie $E=E(q_{k},p_{k})$ gegeben ist. Da die tatsächliche Bewegung für die Integration nicht gebraucht wird, sind diese generalisierten Impulse $J_{k}$ erhalten, vorausgesetzt die transformierte Hamiltonfunktion $K$ hängt nicht von den generalisierten Koordinaten $w_{k}$ ab

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}$

wobei

$w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}$

durch die kanonische Transformation gegeben ist. Daher hängt die neue Hamiltonfunktion $K=K({\vec {J}})$ nur von den neuen generalisierten Impulsen $\mathbf {J}$ ab.

Eigenschaften

Die Bewegungsgleichungen des Systems in den neuen Koordinaten erhält man durch die Hamiltonschen Gleichungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}({\vec {J}})$

Da alle $J_{k}$ erhalten sind, ist die rechte Seite ebenfalls erhalten. Die Lösung ist daher

$w_{k}=\nu _{k}({\vec {J}})t+\beta _{k}$

wobei $\beta _{k}$ eine entsprechende Integrationskonstante ist. Insbesondere für eine Oszillation der ursprünglichen Koordinaten, oder eine Kreisbewegung mit Periode $T$, erhält man eine Änderung des Wirkungswinkels $w_{k}$ um $\Delta w_{k}=\nu _{k}({\vec {J}})T$.

Die $\nu _{k}({\vec {J}})$ sind daher die Frequenzen der Schwindung der ursprünglichen Koordinaten $q_{k}$. Dies lässt sich zeigen durch Integration der Wirkungswinkeländerung über eine Periode der Koordinaten $q_{k}$

$\Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d} J_{k}}}=1$

Setzt man beide Ausdrücke für $\Delta w_{k}$ gleich, erhält man die gewünschte Gleichung

$\nu _{k}({\vec {J}})={\frac {1}{T}}$

Literatur

• L. D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
• G. Sardanashvily, (2015) Handbook of Integrable Hamiltonian Systems, URSS. ISBN 978-5-396-00687-4