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Version vom 8. August 2016, 01:39 Uhr

Gewinnmaximierung bezeichnet den Mechanismus, nach dem in einer Marktwirtschaft Unternehmer ihre Produktionsmenge anpassen, damit ein Marktgleichgewicht erreicht wird. In der Situation maximalen Gewinns entsprechen die Grenzkosten dem Grenzerlös.

Nachdem ein Unternehmen in den Markt eingetreten ist, wird es in der Regel versuchen durch optimale Produktionsplanung seinen Gewinn zu maximieren. Auf welche Weise ein Unternehmen seinen Gewinn maximieren kann, hängt dabei von der Art des Marktes ab, in dem das Unternehmen agiert, und von der Stellung des Unternehmens im Markt.

Im Folgenden soll zunächst der Mechanismus der Gewinnmaximierung eines Monopolisten in einer Marktwirtschaft erläutert werden. Anschließend wird die Gewinnmaximierung im Gleichgewicht erklärt.

Gewinnmaximierung bei einem Monopolisten

Charakteristisch für diese Situation ist, dass es eine Preis-Absatz-Funktion gibt, die beschreibt, welche Menge eines Produktes bei einem bestimmten Preis abgesetzt werden kann. Man kann generell davon ausgehen, dass bei sinkenden Preisen eine größere Menge des Produktes abgesetzt werden kann.

Das Unternehmen wählt dann für sein Produkt den Preis, bei dem der maximale Gewinn erzielt werden kann. Der Preis ist also nicht, wie bei einem Markt mit vollkommener Konkurrenz, an dem die Unternehmen als Preisnehmer bzw. Mengenanpasser auftreten, gegeben, sondern wird vom Monopolisten gewählt.

Der Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion, bei dem ein Monopolunternehmen den maximalen Gewinn erzielt, wird Cournotscher Punkt genannt.

Formeln zur Gewinnmaximierung eines Monopolisten

Es wird angenommen, dass die Gewinnfunktion zweimal stetig differenzierbar^[1] ist. Nach den allgemeinen Regeln über die Maximierung von Funktionen^[2] liegt an einer inneren Stelle $x_{0}>0$ dann ein (lokales) Gewinnmaximum vor, wenn zum einen der Grenzgewinn bei dieser Menge null beträgt, also

(1)

G'(x_{0})=0

(notwendige Bedingung für ein Maximum),

und zum anderen die zweite Ableitung der Gewinnfunktion in der Stelle $x_{0}$ negativ ist,

(2)

G''(x_{0})<0

(hinreichende Bedingung für ein Maximum).^[3]

Beachte, dass aus (1) mit der Definition der Gewinnfunktion unmittelbar folgt,^[4] dass $E'(x_{0})-K'(x_{0})=0$ , das heißt der Grenzerlös entspricht den Grenzkosten. Dies erschließt sich intuitiv:^[5] Wenn der Grenzerlös die Grenzkosten übersteigt, könnte man den Gewinn mit der Produktion einer (marginalen) Mehreinheit erhöhen, weil der damit erzielte Mehrerlös die dafür anfallenden Mehrkosten überwöge. Wenn umgekehrt die Grenzkosten den Grenzerlös übersteigen, könnte man den Gewinn durch Verringerung der Produktion um eine (marginale) Einheit erhöhen, weil die damit erzielte Kostenersparnis den damit bewirkten Erlösrückgang überkompensieren würde.

Beispiel

Gegeben sind die Preis-Absatz-Funktion eines Monopolisten

p(x)=150-{\frac {x}{20}}

sowie eine lineare Kostenfunktion

K(x)=20000+30x

.

Die Erlösfunktion lautet zunächst

E(x)=p(x)\cdot x=150x-{\frac {x^{2}}{20}}

.

Für die Gewinnfunktion folgt

G(x)=E(x)-K(x)=\left(150x-{\frac {x^{2}}{20}}\right)-(20000+30x)

.

Die Bedingung erster Ordnung für ein Maximum lautet $G'(x_{0})=0$ , und also

G'(x)=150-{\frac {x}{10}}-30=120-{\frac {x}{10}}\;{\overset {!}{=}}\;0\implies x_{0}=1200

.

Dies ist wegen

G''(x)=-{\frac {1}{10}}<0

auch hinreichend. Über die Preis-Absatz-Funktion ergibt sich, dass der Preis bei dieser Produktionsmenge $p_{0}=90$ beträgt.

Gewinnmaximierung im Gleichgewicht

Für ein Unternehmen in einem Markt mit vollkommener Konkurrenz und im Gleichgewicht stellt sich die Maximierung des Gewinns ganz anders dar als bei einem Monopolisten: bei vollkommener Konkurrenz ist der Gewinn im Gleichgewicht gleich Null! Hier besteht das für ein Unternehmen erreichbare Maximum darin, dass keine Verluste erzielt werden.^[6]

Das erscheint auf den ersten Blick nicht sinnvoll zu sein, da man annimmt, dass kein Unternehmer in den Markt eintritt, ohne Gewinn erzielen zu können. Will er nicht für seine Arbeit im Unternehmen (Planung, Organisation etc.) und für das Risiko, das er eingeht, 'bezahlt' werden?

Auch auf einem Markt mit vollkommener Konkurrenz, wie er z.B. von Arrow & Debreu behandelt wird, taucht der Unternehmer auf, allerdings als normaler Konsument, der einerseits seine Arbeitskraft zur Verfügung stellt und andererseits dafür das vom Markt für ihn bestimmte höchst-präferierte Güterbündel erhält, genau so wie jeder anderen Marktteilnehmer auch.

Der Unternehmer erhält also ein virtuelles Gehalt für seine Arbeit. Ein Risiko besteht für ihn an diesem Markt nicht, er steht nur mit seiner Arbeitskraft ein. Für Gebäude, Maschinen etc. hat er Kapital aufgenommen, für das er Zinsen zu zahlen hat, die ganz normal in der Kostenrechnung auftauchen und vom Markt berücksichtigt werden.

Eine hypothetische Frage lautet, wie es an einem Markt mit vollständiger Konkurrenz dazu kommt, dass Unternehmen keine Gewinne erzielen. Dazu muss man sich noch einmal vor Augen halten, dass es an einem Markt mit vollständiger Konkurrenz theoretisch viele Anbieter für das gleiche Produkt (homogenes Polypol) gibt und dass alle relevanten Informationen jedem bekannt sind. Daraus folgt zunächst, dass kein Konsument einen höheren Preis als den niedrigsten Preis akzeptieren würde.

Würde ein Unternehmen z.B. auf Grund einer innovativen Produktion günstiger produzieren können, würden die anderen Anbieter auch auf dieses Produktionsverfahren umstellen, womit wieder gleiche Bedingungen hergestellt wären und alle Hersteller zum gleichen Preis ohne Gewinn anbieten müssten. Das ist der optimale Preis, der vom Markt 'gefunden' wird und den jeder Unternehmer bekommt – nicht mehr und nicht weniger. Vollkommene Konkurrenz existiert jedoch nirgends, es handelt sich um ein theoretisches Konstrukt.

Mikroökonomische Betrachtung

Literatur

Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 6. Auflage. Springer, Heidelberg u.a. 2015, ISBN 978-3-662-45360-5.

Anmerkungen

↑ Ausreichend: zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall $(0,\infty )$ .
↑ Vgl. den Artikel Extremwert.
↑ Die Bedingungen (1) und (2) gewährleisten ein (lokales) Gewinnmaximum. Beachte, dass daraus im Allgemeinen nicht auch folgt, dass jedes (lokale) Gewinnmaximum den Bedingungen (1) und (2) genügt. Im Fall $G'(x_{0})=G''(x_{0})=0$ könnte ebenfalls ein (lokales) Gewinnmaximum vorliegen. In ökonomischen Anwendungen bleibt dieser Fall allerdings reglemäßig unberücksichtigt. Das Problem erübrigt sich trivialerweise, wenn man statt des gängigerweise gebrauchten „Optimalitätskriteriums 2. Ordnung“ (second derivative test) der Bedingung (2) den Vorzeichenwechsel von $G'(x)$ an der jeweiligen, anhand von Bedingung (1) ermittelten stationären Stelle $x_{0}$ überprüft:
(2’) Eine stationäre Stelle $x_{0}$ ist ein lokales Maximum, wenn ein $a<x_{0}$ existiert, sodass $G'(x)\geq 0$ für alle $x\in (a,x_{0})$ , und ein $b>x_{0}$ existiert, sodass $G'(x)\leq 0$ für alle $x\in (x_{0},b)$ .
↑ Vgl. den Artikel Summenregel.
↑ Siehe nur Breyer 2015, S. 71 f.
↑ Lawrence Boland: Foundations of Economic Method: A Popperian Perspective. 2. Auflage 2003. S. 149, 150

[1] Ausreichend: zweimal stetig differenzierbar auf dem Intervall $(0,\infty )$ .

[2] Vgl. den Artikel Extremwert.

[3] Die Bedingungen (1) und (2) gewährleisten ein (lokales) Gewinnmaximum. Beachte, dass daraus im Allgemeinen nicht auch folgt, dass jedes (lokale) Gewinnmaximum den Bedingungen (1) und (2) genügt. Im Fall $G'(x_{0})=G''(x_{0})=0$ könnte ebenfalls ein (lokales) Gewinnmaximum vorliegen. In ökonomischen Anwendungen bleibt dieser Fall allerdings reglemäßig unberücksichtigt. Das Problem erübrigt sich trivialerweise, wenn man statt des gängigerweise gebrauchten „Optimalitätskriteriums 2. Ordnung“ (second derivative test) der Bedingung (2) den Vorzeichenwechsel von $G'(x)$ an der jeweiligen, anhand von Bedingung (1) ermittelten stationären Stelle $x_{0}$ überprüft:
(2’) Eine stationäre Stelle $x_{0}$ ist ein lokales Maximum, wenn ein $a<x_{0}$ existiert, sodass $G'(x)\geq 0$ für alle $x\in (a,x_{0})$ , und ein $b>x_{0}$ existiert, sodass $G'(x)\leq 0$ für alle $x\in (x_{0},b)$ .

[4] Vgl. den Artikel Summenregel.

[5] Siehe nur Breyer 2015, S. 71 f.

[6] Lawrence Boland: Foundations of Economic Method: A Popperian Perspective. 2. Auflage 2003. S. 149, 150

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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 == Formeln zur Gewinnmaximierung eines Monopolisten ==
+Es wird angenommen, dass die Gewinnfunktion zweimal [[stetig differenzierbar]]<ref>Ausreichend: zweimal stetig differenzierbar auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>(0,\infty)</math>.</ref> ist. Nach den allgemeinen Regeln über die Maximierung von Funktionen<ref>Vgl. den Artikel ''[[Extremwert#Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen|Extremwert]].''</ref> liegt an einer inneren Stelle <math>x_0>0</math> dann ein (lokales) Gewinnmaximum vor, wenn zum einen der Grenzgewinn bei dieser Menge null beträgt, also
-Der Gewinn ist die Differenz zwischen dem [[Erlös]] und den [[Kosten]], d.&nbsp;h. <math>G=E-K</math>. Das Gewinnmaximum liegt in dem Punkt, an dem der [[Grenzerlös]] <math>E'</math> gleich den [[Grenzkosten]] <math>K'</math> ist, also an dem <math>E' = K'</math> gilt. Aus <math>G' = E'-K'</math> ergibt sich, dass der [[Grenzgewinn]] <math>G'</math> an diesem Punkt 0 ist, d.&nbsp;h. <math>G'=0</math> gilt. Formal könnte im Punkt <math>G'=0</math> auch ein lokales Minimum vorliegen, die Bedingung <math>G'=0</math> ist demnach [[Notwendige und hinreichende Bedingung|notwendig, aber nicht hinreichend]]. Im Punkt <math>G'=0</math> muss weiterhin <math>G''<0</math> gelten (<math>G''</math> ist die zweite Ableitung von <math>G</math>), um ein lokales Maximum formal zu garantieren (<math>G'=0</math> und <math>G''<0</math> ist eine hinreichende Bedingung für ein lokales Maximum).
+:(1) <math>G'(x_0)=0</math> (notwendige Bedingung für ein Maximum),
+und zum anderen die zweite Ableitung der Gewinnfunktion in der Stelle <math>x_0</math> negativ ist,
+:(2) <math>G''(x_0)<0</math> (hinreichende Bedingung für ein Maximum).<ref>Die Bedingungen (1) und (2) gewährleisten ein (lokales) Gewinnmaximum. Beachte, dass daraus im Allgemeinen nicht auch folgt, dass jedes (lokale) Gewinnmaximum den Bedingungen (1) und (2) genügt. Im Fall <math>G'(x_0)=G''(x_0)=0</math> könnte ebenfalls ein (lokales) Gewinnmaximum vorliegen. In ökonomischen Anwendungen bleibt dieser Fall allerdings reglemäßig unberücksichtigt. Das Problem erübrigt sich trivialerweise, wenn man statt des gängigerweise gebrauchten „Optimalitätskriteriums 2. Ordnung“ ''(second derivative test)'' der Bedingung (2) den Vorzeichenwechsel von <math>G'(x)</math> an der jeweiligen, anhand von Bedingung (1) ermittelten stationären Stelle <math>x_0</math> überprüft:
+:(2’) Eine stationäre Stelle <math>x_0</math> ist ein lokales Maximum, wenn ein <math>a<x_0</math> existiert, sodass <math>G'(x)\geq 0 </math> für alle <math>x\in (a,x_0)</math>, und ein <math>b>x_0</math> existiert, sodass <math>G'(x)\leq 0 </math> für alle <math>x\in (x_0,b)</math>.</ref>
+Beachte, dass aus (1) mit der Definition der Gewinnfunktion unmittelbar folgt,<ref>Vgl. den Artikel ''[[Summenregel]].''</ref> dass <math>E'(x_0)-K'(x_0)=0</math>, das heißt der Grenzerlös entspricht den Grenzkosten. Dies erschließt sich intuitiv:<ref>Siehe nur Breyer 2015, S. 71 f.</ref> Wenn der Grenzerlös die Grenzkosten übersteigt, könnte man den Gewinn mit der Produktion einer (marginalen) Mehreinheit erhöhen, weil der damit erzielte Mehrerlös die dafür anfallenden Mehrkosten überwöge. Wenn umgekehrt die Grenzkosten den Grenzerlös übersteigen, könnte man den Gewinn durch Verringerung der Produktion um eine (marginale) Einheit erhöhen, weil die damit erzielte Kostenersparnis den damit bewirkten Erlösrückgang überkompensieren würde.
-[[Datei:Cournotscher Punkt 2.png|thumb|Gewinnmaximum graphisch]]
-=== Beispiel ===
+=== Beispiel ===
-Gegeben sind die [[Preis-Absatz-Funktion]]
+[[File:Gewinnmaximierung grafisch.svg|thumb|right|upright=1.8|''Veranschaulichung von Beispiel 1:'' Das Gewinnmaximum befindet sich an der Stelle <math>x_0=1200</math>.]][[File:Gewinnmaximierung grafisch mit Grenzkosten und Grenzerlös.svg|thumb|right|upright=1.8|''Veranschaulichung von Beispiel 1:'' Im Gewinnmaximum <math>x_0=1200</math> stimmen Grenzerlös und Grenzkosten überein.]]
+Gegeben sind die [[Preis-Absatz-Funktion]] eines Monopolisten
 : <math> p(x)=150- \frac {x} {20}</math>
-und eine lineare [[Kostenfunktion (Wirtschaft)|Kostenfunktion]]
+sowie eine lineare [[Kostenfunktion (Wirtschaft)|Kostenfunktion]]
-: <math> K(x)=20000+30 \cdot x</math>.
+: <math> K(x)=20000+30x</math>.
+Die Erlösfunktion lautet zunächst
+: <math> E(x)= p(x) \cdot x = 150x - \frac {x^2} {20} </math>.
-Daraus ergibt sich:
+Für die Gewinnfunktion folgt
-: <math> E(x)= p(x) \cdot x = 150 \cdot x - \frac {x^2} {20} </math>
-: <math> E'(x)= 150 - \frac {x} {10}</math>
+: <math>G(x) = E(x) - K(x) = \left(150x - \frac {x^2} {20}\right) - (20000 + 30x)</math>.
+Die Bedingung erster Ordnung für ein Maximum lautet <math>G'(x_0)=0</math>, und also
-: <math> G(x) = E(x) - K(x) = \left(150 \cdot x - \frac {x^2} {20}\right) - (20000 + 30 \cdot x)</math>
-: <math> G'(x) = 150 - \frac {x} {10} - 30 = 120 - \frac {x} {10}</math>
+: <math>G'(x) = 150 - \frac {x} {10} - 30 = 120 - \frac {x} {10}\;\overset{!}{=}\;0 \implies x_0 = 1200</math>.
+Dies ist wegen
-: <math> G'(x) = 120 - \frac {x} {10} = 0 \quad\Rightarrow\quad 1200 - x = 0 \quad\Rightarrow\quad 1200 = x</math>
-: <math> G(1200) = \left(150 \cdot 1200 - \frac {1200^2} {20}\right) - (20000 + 30 \cdot 1200) = 52000</math>
+: <math>G''(x) = - \frac {1} {10} < 0</math>
+auch hinreichend. Über die Preis-Absatz-Funktion ergibt sich, dass der Preis bei dieser Produktionsmenge <math>p_0=90</math> beträgt.
-: <math> p(1200) = 150 - \frac {1200} {20} = 90</math>
-Bei 1.200 Mengeneinheiten ist das Gewinnmaximum in der Höhe von 52.000 Geldeinheiten erreicht. Der Preis pro Mengeneinheit beträgt dabei 90 Geldeinheiten.
-Die Bedingung, dass <math>G'' < 0</math> ist, ist in diesem Fall immer erfüllt, da
-: <math> G''(x) = - \frac {1} {10} \quad\Rightarrow\quad G'' < 0 </math> für alle <math> x \in \Re</math>
 == Gewinnmaximierung im Gleichgewicht ==
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 {{Hauptartikel|Gewinnfunktion}}
-== Einzelnachweise ==
+== Literatur ==
+* {{Literatur|Autor=Friedrich Breyer|Titel=Mikroökonomik. Eine Einführung|Auflage=6|Verlag=Springer|Ort=Heidelberg u.a.|Jahr=2015|ISBN=978-3-662-45360-5}}
+== Anmerkungen ==
 <references/>

„Gewinnmaximierung“ – Versionsunterschied

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Inhaltsverzeichnis

Gewinnmaximierung bei einem Monopolisten

Formeln zur Gewinnmaximierung eines Monopolisten

Beispiel

Gewinnmaximierung im Gleichgewicht

Mikroökonomische Betrachtung

Literatur

Anmerkungen

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