„Langevin-Funktion“ – Versionsunterschied
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Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die auf dem Intervall (−1, 1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:<ref name="Cohen">{{cite journal |title=A Padé approximant to the inverse Langevin function |last=Cohen |first=A. |journal=[[Rheologica Acta]] |volume=30 |issue=3 |pages=270–273 |year=1991 |doi=10.1007/BF00366640 }}</ref> |
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L^{-1}(x) \approx x \frac{3-x^2}{1-x^2}. |
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== Siehe auch == |
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Version vom 2. Februar 2017, 18:37 Uhr
Die Langevin-Funktion (nach dem Physiker Paul Langevin) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.
Definition
Die Langevin-Funktion[1] ist definiert durch
- ,
wobei den Kotangens Hyperbolicus bezeichnet.
Eine Anwendung
Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter eingeführt:
Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen:
- m - Magnetisches Moment eines Teilchens
- B - Betrag des angelegten äußeren Magnetfeldes
- - Boltzmann-Konstante
- T - Absolute Temperatur
Für die Magnetisierung M eines Paramagneten ergibt sich dann:
N steht dabei für die Stoffmenge und m für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.
Näherungen
Eine Näherung[1] der Langevin-Funktion für ist
- .
Für gilt die Näherung[1]
- .
Umkehrfunktion
Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat gibt es verschiedene Näherungen. Eine verbreitete Näherung, die auf dem Intervall (−1, 1) gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:[2]
Siehe auch
Einzelnachweise
- ↑ a b c Siegmund Brandt: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21458-5, S. 293.
- ↑ A. Cohen: A Padé approximant to the inverse Langevin function. In: Rheologica Acta. 30. Jahrgang, Nr. 3, 1991, S. 270–273, doi:10.1007/BF00366640.