Magnetisches Moment

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Physikalische Größe
Name Magnetisches Moment
Formelzeichen der Größe \vec m, \vec \mu
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI A·m2 I·L2
Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010, Direktlink: NIST

Das magnetische Moment \vec{m} (auch magnetisches Dipolmoment) ist in der Physik ein Maß für die Stärke eines magnetischen Dipols und analog zum elektrischen Dipolmoment definiert.

Auf ein magnetisches Moment wirkt in einem externen Magnetfeld der Flussdichte \vec{B} ein Drehmoment

\vec D_{\vec m} = \vec m \times \vec B\,, [Anmerkung 1]

durch das es in die Feldrichtung gedreht wird (\times: Kreuzprodukt). Seine potentielle Energie ist daher abhängig vom Einstellwinkel \theta zwischen Feldrichtung und magnetischem Moment:

E_{\text{pot}} = -\vec m \cdot \vec B \equiv -m \, B \cos \theta.

Wichtige Beispiele sind die Kompassnadel und der Elektromotor.

Die Einheit des magnetischen Moments lautet im SI-System A·m2, multipliziert mit der magnetischen Feldkonstante \mu_0 lautet sie T·m3.

Ein magnetisches Moment kann zwei Ursachen haben:

 \vec{m} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^3r \left[ \vec{r} \times \vec{\jmath} \, (\vec{r}) \right] .
Für eine ebene Stromschleife ergibt sich daraus
m = I \cdot A,
wobei A die vom Strom I umflossene Fläche ist.
Dies ist z. B. in der Elektrotechnik Grundlage für Generatoren, Motoren und Elektromagneten.
  • Teilchen mit einem Eigendrehimpuls (Spin) \vec s haben ein magnetisches Moment
 \vec{m} = \gamma \vec{s} ,
wobei \gamma gyromagnetisches Verhältnis genannt wird. Beispiele sind Elektronen, die durch die Parallelstellung ihrer magnetischen Momente den Ferromagnetismus der Elemente der Eisengruppe und der Seltenen Erden hervorrufen. Diese werden als Dauermagneten oder als Eisenkerne in Elektromagneten und Transformatoren verwendet.

Beispiele[Bearbeiten]

Ebene Leiterschleife[Bearbeiten]

Für eine geschlossene Leiterschleife gilt

\int \vec{\jmath} \, (\vec{r}) \; \mathrm{d}^3r = \int I \; \mathrm{d}\vec{r}.

Dabei bezeichnet

Damit folgt für das magnetische Dipolmoment:

\vec{m} = \frac{I}{2} \int_C (\vec{r} \times \mathrm{d}\vec{r}) = I \cdot \vec{A} = I \cdot A \cdot \vec{n}

mit dem Normalenvektor \vec{n} auf der ebenen Fläche A.

Stromdurchflossene lange Spule[Bearbeiten]

Das magnetische Moment einer stromdurchflossenen Spule ist das Produkt aus Windungszahl n, Stromstärke I und Fläche A:

\vec{m} = n \cdot I \cdot \vec{A}.

Siehe auch: magnetischer Verkettungsfluss

Geladenes Teilchen auf einer Kreisbahn[Bearbeiten]

Klassisch[Bearbeiten]

Ist der Kreisstrom durch eine Ladung Q auf einer Kreisbahn (Radius r, Umlaufperiode T ) verursacht, ergibt diese Formel

\vec{m} = IA\;\vec{n} = \frac{Q}{T} \cdot \pi r^2\;\vec{n} \equiv \frac{Q}{2M} \vec L \quad .

Das magnetische Moment ist also fest mit dem Drehimpuls

\vec{L} = \omega M r^2 \; \vec{n}

verknüpft. Der konstante Faktor \gamma = \tfrac{Q}{2M}, darin M die Masse des Teilchens, ist das gyromagnetische Verhältnis für bewegte Ladung auf der Kreisbahn. (Bei der Umrechnung wird die Winkelgeschwindigkeit \omega = \tfrac{2 \pi}{T} benutzt.)

Quantenmechanisch[Bearbeiten]

Die klassische Formel spielt in der Atom- und Kernphysik eine große Rolle, denn sie gilt auch in der Quantenmechanik, und ein wohlbestimmter Drehimpuls gehört zu jedem Energieniveau eines einzelnen Atoms oder Kerns. Da der Drehimpuls der räumlichen Bewegung (Bahndrehimpuls, im Unterschied zum Spin) nur ganzzahlige Vielfache der Einheit \hbar (Plancksches Wirkungsquantum) annehmen kann [Anmerkung 2], hat auch dies magnetische Bahnmoment eine kleinste Einheit, das Magneton:

\mu =\frac{Q \hbar}{2M} \quad .

Für das Elektron wird dies als Bohrsches Magneton \mu_B =\tfrac{e \hbar}{2m_e} bezeichnet, für das Proton als Kernmagneton \mu_K =\tfrac{e \hbar}{2m_p}. Da die Protonenmasse m_p knapp 2000-mal größer ist als die Elektronenmasse m_e, ist das Kernmagneton um denselben Faktor kleiner als das Bohrsche Magneton. Daher sind die magnetischen Wirkungen der Atomkerne nur sehr schwach und schwer zu beobachten (Hyperfeinstruktur).

Das magnetische Moment von Teilchen und Kernen[Bearbeiten]

Teilchen und Atomkerne mit einem Spin \vec{s} besitzen ein magnetisches Spinmoment \vec{\mu} _s, das zu ihrem Spin parallel (oder antiparallel) ist, aber im Verhältnis zum Spin eine andere Größe hat, als wenn es von einem gleich großen Bahndrehimpuls herrührte. Dies wird durch den anomalen Landé-Faktor des Spins g_s\mathord {\ne} 1 ausgedrückt. Man schreibt für Elektron (e^-) und Positron (e^+)

\vec\mu_s = g_e \, \mu_B \, \frac{\vec{s}}{\hbar} mit dem Bohrschen Magneton \mu _B,

für Proton (p) und Neutron (n)

\vec\mu _s = g_{p,n} \,\mu_K\,\frac{\vec{s}}{\hbar} mit dem Kernmagneton \mu _K,

und für andere Teilchen analog. Für das Myon wird im Bohrschen Magneton statt der Masse des Elektrons die des Myons eingesetzt, für die Quarks ihre jeweilige Konstituentenmasse und drittelzahlige elektrische Ladung. Liegt das magnetische Moment antiparallel zum Spin, ist der g-Faktor negativ. Allerdings wird diese Vorzeichenkonvention nicht durchgängig angewendet, so dass häufig der g-Faktor z. B. des Elektrons als positiv angegeben ist.[Anmerkung 3]

Teilchen Spin-g-Faktor
Elektron e^- −2,002 319 304 361 53(53)
Positron e^+ +2,002 319 304 375 8(43)
Myon \mu^- −2,002 331 841 8(13)
Proton p +5,584 694 712 (46)
Neutron n -3,826 085 44 (90)

Nach der Dirac-Theorie ist der Landé-Faktor der fundamentalen Fermionen exakt g_s\mathord =\pm 2, quantenelektrodynamisch wird ein Wert von etwa g_s\mathord =\pm 2{,}0023 vorhergesagt. Präzise Messungen an Elektron bzw. Positron sowie am Myon stimmen damit hervorragend überein, einschließlich der vorhergesagten kleinen Differenz zwischen Elektron und Myon, und bestätigen so die Dirac-Theorie und die Quantenelektrodynamik. Die stark abweichenden g-Faktoren für die Nukleonen sind, allerdings mit Abweichungen im Prozentbereich, durch ihren Aufbau aus jeweils drei Konstituentenquarks zu erklären.


Weisen die Teilchen (z.B. Elektronen, die an einen Atomkern gebunden sind) zusätzlich einen Bahndrehimpuls auf, so gilt, dass sich das magnetische Moment aus dem oben betrachteten magnetischem Moment des Spins (\vec{\mu}_s) und dem des Bahndrehimpulses (\vec{\mu}_\ell) zusammensetzt:

\vec{\mu} =\vec{\mu}_s+\vec{\mu}_\ell .


Magnetisches Feld eines magnetischen Dipols[Bearbeiten]

Ein magnetischer Dipol \vec{m} am Koordinatenursprung führt am Ort \vec{r} zu einer magnetischen Flussdichte

\vec{B}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{3\vec{r}(\vec{m}\cdot\vec{r}) - \vec{m}r^2}{r^5} .

Darin ist \mu_0 die magnetische Feldkonstante. Außer am Ursprung, wo das Feld divergiert, verschwindet überall sowohl die Rotation als auch die Divergenz dieses Feldes. Das zugehörige Vektorpotential ergibt sich zu

\vec{A}(\vec{r})\,=\,\frac{\mu_0}{4 \pi}\,\frac{\vec{m}\times\vec{r}}{r^3} ,

wobei \vec{B}=\nabla\times\vec{A} ist.

Kraft- und Momentwirkung zwischen magnetischen Dipolen[Bearbeiten]

Kraftwirkung zwischen zwei Dipolen[Bearbeiten]

Die Kraft, die von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

\vec{F} =\nabla \left(\vec{m}_2\cdot\vec{B}_1\right)

Es ergibt sich

\mathbf{F}(\vec{r}, \vec{m}_1, \vec{m}_2) = \frac{3 \mu_0}{4 \pi r^4}\left[\vec{m}_2 (\vec{m}_1\cdot \vec{r}_n) + \vec{m}_1(\vec{m}_2\cdot \vec{r}_n) + \vec{r}_n(\vec{m}_1\cdot\vec{m}_2) - 5\vec{r}_n (\vec{m}_1\cdot \vec{r}_n)(\vec{m}_2\cdot \vec{r}_n)\right],

worin \vec{r}_n der Einheitsvektor ist, der von Dipol 1 zu Dipol 2 zeigt und r der Abstand zwischen den beiden Magneten ist. Die Kraft auf Dipol 1 ist reziprok.

Drehmomentwirkung zwischen zwei Dipolen[Bearbeiten]

Das Drehmoment, das von Dipol 1 auf Dipol 2 ausgeübt wird, ist

\vec{M} = \vec{m}_2 \times \vec{B}_1

worin \vec{B}_1 das von Dipol 1 erzeugte Feld am Ort von Dipol 2 ist (s.o.). Das Drehmoment auf Dipol 1 ist reziprok.

In Anwesenheit mehrerer Dipole können die Kräfte oder Momente überlagert werden. Da weichmagnetische Werkstoffe einen feldabhängigen Dipol ausbilden, sind diese Gleichungen nicht anwendbar.

Literatur[Bearbeiten]

  • John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. Anhang über Einheiten und Dimensionen. 4. Auflage. De Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. In älteren Büchern, z. B. W. Döring, Einführung in die Theoretische Physik, Sammlung Göschen, Band II (Elektrodynamik), wird als magnetisches Moment das \mu_0-fache des hier angegebenen Wertes definiert. Dann heißt es z. B. \vec D_{\vec m}=\vec m\times \vec H und \vec m ist definiert nicht als Magnetisierung durch Volumen, sondern als magnetische Polarisation \vec J\,\,(=\mu_0 \vec M) durch Volumen. In Materie ist ja allgemein \vec B=\mu_0\cdot \vec H+ \vec J und \vec m\times \vec J \equiv 0 (wegen  \vec M\times \mu_0\,\vec M\equiv 0 \,.) Alte und neue Definition sind daher voll äquivalent. Die offizielle Einigung auf die neue CODATA-Definition geschah aber erst 2010.
  2. Genauer: das gilt für die Komponente des Drehimpulsvektors längs einer Achse.
  3. Genau muss das Vorzeichen nur berücksichtigt werden, wenn es um den Drehsinn der Larmorpräzession oder das Vorzeichen der paramagnetischen Spinpolarisation geht. Daher werden die Vorzeichen in der Literatur nicht ganz einheitlich gehandhabt.