Einseitiger Einstichproben-Gauß-Test

Diese Baustelle befindet sich fälschlicherweise im Artikelnamensraum. Bitte verschiebe die Seite oder entferne den Baustein {{Baustelle}}.

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoßen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit den Autoren auf.

Hinweis: Du darfst diese Seite editieren!

Ja, wirklich. Es ist schön, wenn jemand vorbeikommt und Fehler oder Links korrigiert und diese Seite verbessert. Sollten deine Änderungen aber anderen nicht gefallen, sei bitte nicht traurig oder verärgert, wenn sie rückgängig gemacht werden.
Wikipedia ist ein Wiki, sei mutig!

Der Einstichproben Gauß-Test, auch Einseitiger Gauß-Test genannt, ist ein spezieller statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. In seiner Grundfassung testet er im Falle einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert und bekannter Varianz ob der Erwartungswert über oder unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt. Ist der Stichprobenumfang groß genug und kann angenommen werden, dass der zentrale Grenzwertsatz gilt, so kann der Test auch als approximativer Test verwendet werden. Getestet wird dann ebenfalls, ob der Erwartungswert der unbekannten Verteilung über oder unter einem vorgegebenen Schwellenwert liegt.

Vorgehen

Kann angenommen werden, dass eine Normalverteilung mit Varianz $\sigma ^{2}$ vorliegt, so läuft der Test nach dem folgenden Schema ab:

• Wähle einen Schwellenwert $\mu _{0}$ für den unbekannten Erwartungswert. Die Nullhypothese $H_{0}$ ist dann von der Form

$H_{0}=(-\infty ,\mu _{0}]$,

die Alternative von der Form

$H_{1}=(\mu _{0},+\infty )$

• Wähle eine Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$, die dem Fehler 1. Art entspricht.
• Berechne den kritischen Wert

$k:=\mu _{0}+u_{1-\alpha }\cdot {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}$.

Hierbei ist $u_{1-\alpha }$ das $1-\alpha$-Quantil der Standardnormalverteilung, das in der Quantiltabelle der Standardnormalverteilung nachgeschlagen werden kann. Des weiteren ist $n$ die Anzahl der Elemente in der Stichprobe und $\sigma ^{2}$ die bekannte Varianz der zugrundeliegenden Normalverteilung.

• Bilde das arithmetische Mittel

${\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$

der Stichprobenelemente $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$.

• Falls das arithmetische Mittel größer als der kritische Wert ist, also falls ${\overline {x}}>k$ gilt: lehne die Nullhypothese ab. Ansonsten behalte die Nullhypothese bei.

Wählt man als Nullhypothese $H_{0}$ den rechten Teil der Zahlengeraden, also als

$H_{0}=[\mu _{0},+\infty )$

und als Alternative entsprechend

$H_{1}=(-\infty ,\mu _{0})$,

so bleibt das allgemeine Vorgehen gleich. Unterschied ist dann, dass die Nullhypothese abgelehnt wird wenn das arithmetische Mittel kleiner als der kritische Wert ist, also wenn ${\overline {x}}<k$ gilt. Sie wird entsprechend beibehalten, wenn das arithmetische Mittel größer als der kritische Wert ist.