Asymptotischer Test

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Ein asymptotischer Test ist eine spezielle Art von statistischer Test in der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Asymptotische Tests werden für immer größer werdende Stichproben konstruiert, um die im Grenzwert erhaltenen Eigenschaften und Methoden mit einem gewissen Näherungsfehler auch auf endliche Stichprobenumfänge zu übertragen. Die so gewonnenen Tests werden dann auch approximative Tests genannt.

Ein klassisches Beispiel für approximative Tests sind die Gauß-Tests. In ihrer exakten Form sind sie lediglich für die Normalverteilung ausgelegt. Mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes können die Tests auch als asymptotischer Test auf eine große Klasse von Verteilungen ausgeweitet werden. Dadurch erhält man auch für unzugänglichere Verteilungen bei großen Stichprobenumfang gute Testverfahren.

Definition

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein Grundraum ${\mathcal {X}}$, versehen mit einer σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ und einer Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$, die mit einer beliebigen Indexmenge $\Theta$ versehen ist. Sei ${\mathcal {X}}^{n}$ das n-fache karthesische Produkt von ${\mathcal {X}}$, ebenso sei ${\mathcal {A}}^{n}$ die n-fache Produkt-σ-Algebra von ${\mathcal {A}}$ und sei $(P_{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in \Theta }$ die Familie der n-fachen Produktmaße der $P_{\vartheta }$ mit sich selbst.

Asymptotischer Test

Unter den obigen Bedingungen sei für jedes $n\in \mathbb {N}$ ein statistischer Test

$\varphi _{n}\colon ({\mathcal {X}}^{n},{\mathcal {A}}^{n})\to ([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]))$

gegeben. Dann heißt die Folge $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein asymptotischer Test.

Ein asymptotischer Test ist somit eine Folge von Tests, die für sukzessiv größer werdende Stichprobenumfänge definiert sind.

Niveau eines asymptotischen Tests

Es bezeichne $\limsup$ den Limes superior und $\operatorname {E} _{n,\vartheta }$ die Bildung des Erwartungswertes bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P_{\vartheta }^{n}$.

Gegeben sei eine Zerlegung von $\Theta$ in Nullhypothese $\Theta _{0}$ und Alternative $\Theta _{1}$. Dann heißt der asymptotische Test $(\varphi _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein asymptotischer Test zum Niveau $\alpha$, wenn

$\limsup _{n\to \infty }\operatorname {E} _{n,\vartheta }(\varphi _{n})\leq \alpha$ für alle $\vartheta \in \Theta _{0}$

gilt. </references>

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Friedrich Liese, Klaus-J. Miescke: Statistical Decision Theory. Estimation, Testing, and Selection. Springer-Verlag, New York 2008, ISBN 978-0-387-73193-3, doi:10.1007/978-0-387-73194-0.