„Variationskoeffizient“ – Versionsunterschied
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Der '''Variationskoeffizient''' (auch: '''Abweichungskoeffizient''') ist eine statistische Kenngröße in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] und der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]]. Im Gegensatz zur [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ist er ein relatives [[Dispersionsmaß (Stochastik)|Streuungsmaß]], das heißt, er hängt nicht von der Maßeinheit der [[Statistische Variable|statistischen Variable]] bzw. [[Zufallsvariable]] ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleiche.<ref>{{Literatur |Autor=Joachim Hartung |Titel=Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik |Auflage=7. durchges. |Verlag=Oldenbourg |Datum=1989 |ISBN=3-486-21448-9 |Seiten=47}}</ref> |
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Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem [[Mittelwert]] bzw. eine [[Zufallsvariable]] mit großem [[Erwartungswert]] im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren. |
Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem [[Mittelwert]] bzw. eine [[Zufallsvariable]] mit großem [[Erwartungswert]] im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren. |
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Der Variationskoeffizient ist eine ''Normierung der Varianz'': Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer |
Der Variationskoeffizient ist eine ''Normierung der Varianz'': Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1. |
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Der '''Quartilsdispersionskoeffizient''' ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten. |
Der '''Quartilsdispersionskoeffizient''' ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten. |
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Die reelle Zufallsvariable <math>X</math> sei [[Normalverteilung|standardnormalverteilt]], das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von <math>X</math> haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable <math>X+1000</math> hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von <math>1/1000 = 0,\!001</math>. |
Die reelle Zufallsvariable <math>X</math> sei [[Normalverteilung|standardnormalverteilt]], das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von <math>X</math> haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable <math>X+1000</math> hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von <math>1/1000 = 0,\!001</math>. |
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== Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable |
== Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable == |
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Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Zufallsgröße <math>X/\operatorname{E}(X)</math> wird als '''quadrierter Variationskoeffizient''' <math>\operatorname{SCV}</math> bzw. <math>c^2_X</math> bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe <math>X</math> gemessen wird. |
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] der Zufallsgröße <math>X/\operatorname{E}(X)</math> wird als '''quadrierter Variationskoeffizient''' <math>\operatorname{SCV}</math> bzw. <math>c^2_X</math> bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe <math>X</math> gemessen wird. |
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== Empirische Variationskoeffizienten == |
== Empirische Variationskoeffizienten == |
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Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten <math>x_1,\dots,x_n</math> vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus [[ |
Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten <math>x_1,\dots,x_n</math> vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus [[Empirische Standardabweichung|empirischer Standardabweichung]] <math>s</math> und [[Arithmetisches Mittel|arithmetischem Mittel]] <math>\bar{x}</math>: |
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== Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient == |
== Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient == |
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Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten |
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten |
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Version vom 5. Juni 2018, 16:41 Uhr
Der Variationskoeffizient (auch: Abweichungskoeffizient) ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, das heißt, er hängt nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable bzw. Zufallsvariable ab. Er ist nur sinnvoll für Messreihen mit ausschließlich positiven (oder ausschließlich negativen) Werten oder Messreihenvergleiche.[1]
Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung nicht normiert sind, kann ohne Kenntnis des Mittelwerts nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.
Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.
Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable
Definition
Der Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable mit Erwartungswert ist definiert als die relative Standardabweichung, das heißt die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert der Zufallsvariablen, in Formeln
- .
Der Variationskoeffizient wird häufig in Prozent angegeben.
Beispiel
Die reelle Zufallsvariable sei standardnormalverteilt, das heißt, Erwartungswert und Standardabweichung von haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von .
Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable
Die Varianz der Zufallsgröße wird als quadrierter Variationskoeffizient bzw. bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe gemessen wird.
Empirische Variationskoeffizienten
Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung und arithmetischem Mittel :
- .
Gilt , so kann ein normierter Variationskoeffizient definiert werden als
- ,
für den gilt .[2]
Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient
Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten
- ,
also der Interquartilsabstand dividiert durch den Median.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Joachim Hartung: Statistik: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. 7. durchges. Auflage. Oldenbourg, 1989, ISBN 3-486-21448-9, S. 47.
- ↑ Wolfgang Kohn: Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-21677-3, S. 81.