Variationskoeffizient

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Variationskoeffizient ist eine statistische Kenngröße in der deskriptiven Statistik und der mathematischen Statistik. Im Gegensatz zur Varianz ist er ein relatives Streuungsmaß, d. h. er hängt nicht von der Maßeinheit der statistischen Variable bzw. Zufallsvariable ab.

Die Motivation für diesen Kennwert ist, dass eine statistische Variable mit großem Mittelwert bzw. eine Zufallsvariable mit großem Erwartungswert im Allgemeinen eine größere Varianz aufweist als eine mit einem kleinen Mittel- bzw. Erwartungswert. Da die Varianz und die daraus abgeleitete Standardabweichung nicht normiert sind, kann im Allgemeinen nicht beurteilt werden, ob eine Varianz groß oder klein ist. So schwanken beispielsweise die Preise für ein Pfund Salz, das im Durchschnitt wohl etwa 50 Cent kostet, im Cent-Bereich, während Preise für ein Auto, das im Mittel beispielsweise 20.000 Euro kostet, im 1000-Euro-Bereich variieren.

Der Variationskoeffizient ist eine Normierung der Varianz: Ist die Standardabweichung größer als der Mittelwert bzw. der Erwartungswert, so ist der Variationskoeffizient größer 1.

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten.

Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable[Bearbeiten]

Der Variationskoeffizient \operatorname{VarK} für eine Zufallsvariable ist definiert als die relative Standardabweichung, d. h. die Standardabweichung dividiert durch den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X. In der Regel wird der Variationskoeffizient in Prozent angegeben, d. h.


\operatorname{VarK}(X) =
\frac{\mathrm{Standardabweichung}(X)}{\mathrm{Erwartungswert}(X)} =
\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}

Beispiel[Bearbeiten]

Die reelle Zufallsvariable X sei standardnormalverteilt, d. h. Erwartungswert und Standardabweichung von X haben den Wert 0 bzw. 1. Der Variationskoeffizient kann für diese Zufallsvariable gar nicht definiert werden (Division durch Null). Die verschobene Zufallsvariable X+1000 hat ebenso die Standardabweichung 1, aber den Erwartungswert 1000. Hier errechnet sich ein Variationskoeffizient von 1/1000 = 0,001.

Quadrierter Variationskoeffizient für eine Zufallsvariable[Bearbeiten]

Die Varianz der Zufallsgröße X/\operatorname{E}(X) wird als quadrierter Variationskoeffizient \operatorname{SCV} bzw. c^2_X bezeichnet. Er hängt wie der Variationskoeffizient nicht von der Dimension ab, in der die Größe X gemessen wird.

    \operatorname{SCV} = c^2_X = \operatorname{Var}\left(\frac{X}{\operatorname{E}(X)}\right)
               = \frac{\operatorname{E}(X^2) - \left[\operatorname{E}(X)\right]^2}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2}
               = \frac{\operatorname{E}(X^2)}{\left[\operatorname{E}(X)\right]^2} - 1

Empirische Variationskoeffizienten[Bearbeiten]

Liegt an Stelle der Verteilung der Zufallsvariablen eine konkrete Messreihe von Werten x_1,\dots,x_n vor, so bildet man analog den empirischen Variationskoeffizienten als Quotienten aus empirischer Standardabweichung s und arithmetischem Mittelwert \bar{x}:

v=\frac{s}{\bar{x}}.

Gilt x_i\geq 0, so kann ein normierter Variationskoeffizient definiert werden als

v^*=\frac{v}{\sqrt{n-1}},

für den gilt 0\leq v^* \leq 1.[1]

Empirischer Quartilsdispersionskoeffizient[Bearbeiten]

Der Quartilsdispersionskoeffizient ist eine robuste Version des Variationskoeffizienten

v_r=\frac{x_{0,75}-x_{0,25}}{x_{0,5}},

also der Interquartilsabstand dividiert durch den Median.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Variationskoeffizient – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wolfgang Kohn: Statistik: Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Springer, 15. September 2004, ISBN 978-3540216773, S. 81.