Kantorowitsch-Ungleichung

Die Kantorowitsch-Ungleichung, benannt nach dem sowjetischen Mathematiker Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch (1912–1986), ist eine Ungleichung, die angesiedelt ist im Übergangsfeld zwischen den Gebieten Funktionalanalysis, Numerische Mathematik und Lineare Algebra. Sie liefert eine Abschätzung für positiv definite und symmetrische Matrizen des reellen Matrizenrings ${\mathbb {R} }^{n\times n}$. Die Kantorowitsch-Ungleichung ist nicht zuletzt in der Numerischen Mathematik bedeutsam bei Konvergenzverhaltensuntersuchungen im Zusammenhang mit dem Gradientenverfahren. Sie wurde auf vielfache Art und Weise verallgemeinert und gab Anlass zu einer Anzahl weitergehender Arbeiten.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n$ und dazu eine positiv definite und symmetrische Matrix $Q\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$. Dabei sei $m$ der kleinste Eigenwert von $Q$ und $M$ der größte.

Dann besteht, wenn $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Skalarprodukt des ${\mathbb {R} }^{n}$ bezeichnet, für alle $x\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}$ die Ungleichung

${\frac {{\langle x,x\rangle }^{2}}{{\langle x,Qx\rangle }\cdot {\langle x,Q^{-1}x\rangle }}}\geq 4{\frac {M\cdot m}{(M+m)^{2}}}$ .

Literatur

• Werner Greub, Werner Rheinboldt: On a generalization of an inequality of L. V. Kantorovich. In: Proceedings of the American Mathematical Society . Band 10, 1959, S. 407–415, doi:10.2307/2032857 (MR0105028). 
• Peter Kosmol: Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben (= Teubner Studienbücher Mathematik). B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1989, ISBN 3-519-02085-8 (MR1002944). 
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 
• W. G. Strang: On the Kantorovich inequality. In: Proceedings of the American Mathematical Society . Band 11, 1960, S. 60, doi:10.2307/2034801 (MR0112046).