Euler-Produkt

Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.

Definition

Sei $f$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und $\textstyle F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$ die entsprechende Dirichlet-Reihe der zahlentheoretischen Funktion. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl $s$ absolut konvergiert, dann gilt

$F(s)=\prod _{p\ {\rm {prim}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$.

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion $f$ vereinfacht sich dieses Produkt zu

$F(s)=\prod _{p\ \operatorname {prim} }{\frac {1}{1-f(p)p^{-s}}}$.

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte. Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert $\textstyle \lim _{N\to \infty }P_{N}$ der Folge endlicher Produkte $P_{N}$, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Beweis

Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.

Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe $F(s)$ auch jeder Faktor $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$ absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes $N$ das Partialprodukt

$F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$

existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen $2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq N<p_{j+1}$:

$F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.$

Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von $f$ benutzt. Damit folgt

$F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},$

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle $n>N$ summiert wird, deren Primteiler sämtlich $\leq N$ sind. Damit folgt: für jedes $\varepsilon >0$ existiert ein $N>0$ mit

$|F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon .$

Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte $F_{N}(s)$ für jedes $s$ im Bereich der absoluten Konvergenz gegen $F(s)$ (sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.

Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion

Formulierung

Im Fall $f(n)=1$ für alle $n\in \mathbb {N}$ ist $f$ offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle $\operatorname {Re} (s)>1$

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.$

Die Funktion $\zeta (s)$ ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.

Herleitung von Euler

Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge $M\subset \mathbb {N}$ und eine Primzahl $p$, so dass $1\in M$ und $pM\subset M$. Ist also $m\in M$, so folgt ebenfalls $pm\in M$. Dann gilt ganz allgemein für $\operatorname {Re} (s)>1$

$\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}.$

Bezeichnen wir jetzt $p_{n}$ als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und $M_{k}$ als die Menge der Zahlen, die nicht durch $p_{1},\dots ,p_{k}$ teilbar sind (z. B. $M_{1}=\{1,3,5,7,\dots \}$). Setze zudem $M_{0}:=\mathbb {N}$. Dann hat jedes $M_{k}$ die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl $p_{k+1}$ und es gilt $M_{k+1}=M_{k}\setminus p_{k+1}M_{k}$. Also:

$\left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}$

und damit induktiv

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}.$

Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich

$\lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1,$

da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.