„Tamaschke-Axiom“ – Versionsunterschied
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In der [[Affine Geometrie|Affinen Geometrie]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]], ist das '''Tamaschke-Axiom''' (oder auch '''Dreiecksaxiom''') eine derjenigen [[Logische Aussage|Aussagen]], mit deren Hilfe sich |
In der [[Affine Geometrie|Affinen Geometrie]], einem der [[Teilgebiete der Mathematik]], ist das '''Tamaschke-Axiom''' (oder auch '''Dreiecksaxiom''') eine derjenigen [[Logische Aussage|Aussagen]], mit deren Hilfe sich die dort auftretenden [[Inzidenzgeometrie]]n [[axiom]]atisch festlegen lassen. Das Axiom ist nach dem [[Eberhard-Karls-Universität Tübingen|Tübinger]] [[Mathematiker]] [[Olaf Tamaschke]] benannt, der als erster seine Bedeutung für die Geometrie erkannte.<ref name="AB_1">Albrecht Beutelspacher: ''Lineare Algebra.'' 2014, S. 123ff</ref> |
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== Formulierung des Axioms == |
== Formulierung des Axioms == |
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Das Axiom |
Das Tamaschke-Axiom fordert für Inzidenzgeometrien <math>\mathcal {X} </math>, die dem [[Verbindungsaxiom]] und dem [[Parallelenaxiom]] genügen, die folgende zusätzliche Eigenschaft:<ref name="AB_2">Beutelspacher, op. cit., S. 123</ref> |
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: ''Sind in |
: ''Sind in <math>\mathcal {X} </math> fünf [[Raumpunkt]]e <math> A, B, C, A^{*}, B^{*} \in \mathcal {X} </math> gegeben, wobei <math>A, B, C</math> nicht auf einer gemeinsamen [[Gerade]]n [[Inzidenz (Geometrie)|liegen]] sollen, und sind hier die Geraden <math>AB</math> und <math>A^{*}B^{*}</math> [[Parallelität (Geometrie)|parallel]], so treffen sich die Parallele zu <math>AC</math> durch <math>A^{*}</math> und die Parallele zu <math>BC</math> durch <math>B^{*}</math> in einem gemeinsamen [[Schnittpunkt]] <math>C^{*}</math>.'' |
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== Axiomatik der affinen Räume == |
== Axiomatik der affinen Räume == |
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Gemäß der Darstellung von [[Albrecht Beutelspacher]] sind die affinen Räume genau diejenigen Inzidenzgeometrien, in denen sowohl |
Gemäß der Darstellung von [[Albrecht Beutelspacher]] sind die [[Affiner Raum|affinen Räume]] genau diejenigen Inzidenzgeometrien, in denen sowohl |
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|Autor=Olaf Tamaschke |
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Version vom 22. Juli 2020, 18:34 Uhr
In der Affinen Geometrie, einem der Teilgebiete der Mathematik, ist das Tamaschke-Axiom (oder auch Dreiecksaxiom) eine derjenigen Aussagen, mit deren Hilfe sich die dort auftretenden Inzidenzgeometrien axiomatisch festlegen lassen. Das Axiom ist nach dem Tübinger Mathematiker Olaf Tamaschke benannt, der als erster seine Bedeutung für die Geometrie erkannte.[1]
Formulierung des Axioms
Das Tamaschke-Axiom fordert für Inzidenzgeometrien , die dem Verbindungsaxiom und dem Parallelenaxiom genügen, die folgende zusätzliche Eigenschaft:[2]
- Sind in fünf Raumpunkte gegeben, wobei nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen sollen, und sind hier die Geraden und parallel, so treffen sich die Parallele zu durch und die Parallele zu durch in einem gemeinsamen Schnittpunkt .
Axiomatik der affinen Räume
Gemäß der Darstellung von Albrecht Beutelspacher sind die affinen Räume genau diejenigen Inzidenzgeometrien, in denen sowohl
- das Verbindungsaxiom
als auch
- das Parallelenaxiom
als auch
- das Tamaschke-Axiom
erfüllt sind.[2]
Anmerkung
Geht man den in der Analytischen Geometrie üblichen Weg, die affinen Räume ausgehend von den zugehörigen Vektorräumen der Verbindungsvektoren zu definieren,[3] so ergibt sich das Tamaschke-Axiom in diesem Rahmen als Lehrsatz.[4]
Literatur
- Albrecht Beutelspacher: Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen. 8., aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-02412-3, doi:10.1007/978-3-658-02413-0.
- Gerd Fischer: Analytische Geometrie. Eine Einführung für Studienanfänger (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 7., durchgesehene Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig, Wiesbaden 2001, ISBN 978-3-322-88921-8, doi:10.1007/978-3-322-88921-8.
- Olaf Tamaschke: Projektive Geometrie II (= BI-Hochschulskripten. 838/a/b). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1972 (MR0338893).