Schnittpunkt

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Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt zweier Kurven in der Ebene oder im Raum. Der allgemeine Sprachgebrauch versteht unter Schnittpunkt jenen zweier Geraden, was jedoch im mathematischen Kurvenbegriff enthalten ist. Im Raum gibt es noch den Schnittpunkt einer Kurve mit einer Fläche. Im einfachsten Fall schneidet eine Gerade eine Ebene.

Schnittpunkt zweier Geraden

Die Bestimmung eines Schnittpunktes ist in den beiden Fällen Gerade-Gerade und Gerade-Ebene einfach (s. unten). Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nicht lineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Newton-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis,Hyperbel,Ellipse,Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, ...) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnitt einer Gerade mit Ebene/Kugel/Zylinder/Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen [1].

Schnittpunkt in der Ebene[Bearbeiten]

Schnittpunkt zweier Geraden[Bearbeiten]

Für den Schnittpunkt zweier nicht paralleler

ergibt sich mit der Cramerschen Regel für die Koordinaten des Schnittpunktes (x_s,y_s)

 x_s=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1} , \quad y_s=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}. \

(Falls  a_1b_2-a_2b_1=0 ist, sind die beiden Geraden parallel.) Falls die Geraden durch jeweils zwei Punkte gegeben sind: siehe nächsten Abschnitt.

Schnittpunkt zweier Strecken[Bearbeiten]

Schnitt zweier Strecken

Sind zwei nicht parallele Strecken (x_1,y_1),(x_2,y_2) und (x_3,y_3),(x_4,y_4) gegeben, so müssen sie sich nicht schneiden. Denn der Schnittpunkt (x_0,y_0) der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein. Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken parametrisiert dar:

 (x(s),y(s))=(x_1+s(x_2-x_1),y_1+s(y_2-y_1)),
 (x(t),y(t))=(x_3+t(x_4-x_3),y_3+t(y_4-y_3))\ .

Schneiden sich die Strecken, so muss der gemeinsame Punkt (x_0,y_0) der zugehörigen Geraden Parameter s_0,t_0 haben mit der Eigenschaft  0\le s_0,t_0 \le 1 . Die Schnittparameter s_0,t_0 sind Lösung des linearen Gleichungssystems

s(x_2-x_1)-t(x_4-x_3)=x_3-x_1,
 s(y_2-y_1)-t(y_4-y_3)=y_3-y_1 \ .

Dieses löst man (wie oben) mit der Cramerschen Regel, überprüft die Schnittbedingung  0\le s_0,t_0 \le 1 und setzt s_0 oder t_0 in die zugehörige Parameterdarstellung ein, um schließlich den Schnittpunkt (x_0,y_0) zu erhalten.

Beispiel: Für die Strecken (1,1),(3,2) und (1,4),(2,-1) erhält man das Gleichungssystem

 2s-t=0
s+5t=3

und s_0=\tfrac{3}{11}, t_0=\tfrac{6}{11}. D. h. die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist (\tfrac{17}{11},\tfrac{14}{11}).

Bemerkung: Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare (nicht Strecken !), so kann man die Bedingung  0\le s_0,t_0 \le 1 ignorieren und erhält mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden (s. vorigen Abschnitt).

Schnitt Kreis-Gerade
Schnitt Kreis-Kreis
Schnitt Kreis-Ellipse

Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kreis[Bearbeiten]

Um den Schnitt der

  • Gerade ax+by=c mit dem Kreis (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

zu berechnen, wird zunächst das System durch Setzen von \bar x = x - x_0 und \bar y = y - y_0 so verschoben, dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt liegt. Dadurch ergibt sich als neue Kreisgleichung

\bar x^2+\bar y^2=r^2

und als neue Geradengleichung

a\bar x+b\bar y=d mit d = c - ax_0 - by_0.

Durch Auflösen der Geradengleichung nach \bar x oder \bar y, Einsetzen in die Kreisgleichung, Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließendes Rückgängigmachen der Verschiebung ergeben sich dann die Schnittpunkte (x_1,y_1),(x_2,y_2) mit

x_{1/2}= x_0 + \frac{ad\pm b\sqrt{r^2(a^2+b^2)-d^2}}{a^2+b^2}, \quad 
       y_{1/2}= y_0 + \frac{bd\mp a\sqrt{r^2(a^2+b^2)-d^2}}{a^2+b^2} \ ,

sofern  r^2(a^2+b^2) \ge d^2 gilt. Im Fall der Gleichheit gibt es nur einen Schnittpunkt und die Gerade ist eine Tangente des Kreises.

Bemerkung: Die Schnittpunkte einer Gerade mit einer Parabel oder einer Hyperbel lassen sich analog durch Lösen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Schnittpunkte zweier Kreise[Bearbeiten]

Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise

  • (x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2 ,\ \quad  (x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2

lässt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem Schnittpunkte der Gerade

2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=r_1^2-x_1^2-y_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2

mit einem der beiden Kreise zurückführen (s. o.).

Schnittpunkte zweier Kegelschnitte[Bearbeiten]

Die Aufgabe, die Schnittpunkte einer Ellipse/Hyperbel/Parabel mit einer Ellipse/Hyperbel/Parabel zu bestimmen, führt bei Elimination einer Koordinate i.a. auf eine Gleichung vierten Grades, die nur in speziellen Fällen leicht lösbar ist. Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1- bzw. 2-dimensionalen Newton-Verfahrens bestimmen, je nachdem man a) beide Kegelschnitte implizit (-> 2-dim. Newton) oder b) einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt (-> 1-dim. Newton). Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

Schnittpunkt zweier Kurven[Bearbeiten]

Schnittpunkte zweier Kurven: transversales Schneiden
Schnittpunkt zweier Kurven: berührendes Schneiden bzw. Berührung

Zwei in der Ebene \R^2 liegende, stetig differenzierbare Kurven (also Kurven ohne „Knick“) haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder

a) unterschiedliche Tangenten aufweisen (transversales Schneiden), oder
b) gemeinsame Tangenten haben und in dem Punkt sich kreuzen (berührendes Schneiden, siehe Bild).

Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt S und dort eine gemeinsame Tangente haben, aber sich nicht kreuzen, berühren sie sich in  S.

Da berührendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist, wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt. Um es nicht immer wieder erwähnen zu müssen, werden auch die jeweils nötigen Differenzierbarkeits-Bedingungen vorausgesetzt. Die Bestimmung von Schnittpunkten führt immer wieder auf das Problem, eine Gleichung mit einer bzw. zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen zu müssen. Die Gleichungen sind im Allgemeinen nicht linear und können dann beispielsweise mit dem 1- oder 2-dimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden. Im Folgenden werden die einzelnen Fälle und die zu lösenden Gleichungen beschrieben:

Schnittpunkt: parametrisierte Kurve / implizite Kurve
Schnittpunkt: implizite Kurve / implizite Kurve
  • Falls beide Kurven explizit vorliegen:  y=f_1(x), \ y=f_2(x) liefert Gleichsetzen die Gleichung
f_1(x)=f_2(x) \ .
  • Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen: K_1: (x_1(t),y_1(t)), \ K_2: (x_2(s),y_2(s)).
Gleichsetzen liefert zwei Gleichungen für zwei Unbekannte:
x_1(t)=x_2(s), \ y_1(t)=y_2(s) \ .
  • Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben sind: K_1: (x_1(t),y_1(t)), \ K_2: f(x,y)=0.
Dies ist nach dem expliziten der einfachste Fall. Denn man muss hier nur die Parameterdarstellung von K_1 in die Gleichung f(x,y)=0 von K_2 einsetzen und erhält die Gleichung
f(x_1(t),y_1(t))=0 \ .
  • Falls beide Kurven implizit gegeben sind: K_1: f_1(x,y)=0, \ K_2: f_2(x,y)=0.
Ein Schnittpunkt ist hier die Lösung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystems
f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \ .

Die für das jeweilige Newton-Verfahren nötigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen. Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lässt sich leicht visualisieren, da man zu vorgegebenem Parameter t bzw. x direkt einen Punkt berechnen kann. Für implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach. Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen [2].

Beispiele:

1: K_1: (t,t^3) und Kreis K_2: (x-1)^2+(y-1)^2-10=0 (s. Bild).
Es ist die Newton-Iteration t_{n+1}:=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)} für
f(t)=(t-1)^2+(t^3-1)^2-10 durchzuführen. Als Startwerte kann man −1 und 1,5 wählen.
Die Schnittpunkte sind: (−1,1073; −1.3578) und (1,6011; 4,1046)
2: K_1: f_1(x,y)=x^4+y^4-1=0,
K_2: f_2(x,y)=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-1=0 (s. Bild).
Es ist die Newton-Iteration
{x_{n+1}\choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta_x\choose y_n+\delta_y} durchzuführen, wobei {\delta_x \choose \delta_y} die Lösung des linearen Gleichungssystems
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
  \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} 
 \end{pmatrix}{\delta_x \choose \delta_y}={-f_1\choose -f_2}
an der Stelle (x_n,y_n) ist. Als Startpunkte kann man (−0,5; 1) und (1; −0,5) wählen.
Das lineare Gleichungssystem löst man am einfachsten mit der Cramerschen Regel.
Als Schnittpunkte ergeben sich (−0.3686; 0,9953) und (0,9953; −0,3686).

Schnittpunkt zweier Polygone[Bearbeiten]

Schnitt zweier Polygone: Fenstertest

Falls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht, kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schneiden untersuchen (s. oben: Schnitt zweier Strecken). Für Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwändig. Durch sogenannte Fenstertests lässt sich die Rechenzeit deutlich reduzieren. Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehörige Fenster, das ist das minimale achsenparallele Rechteck, das das Teilpolygon enthält. Bevor aufwändig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird, werden die zugehörigen Fenster auf Überlappung getestet [3].

Schnittpunkte im Raum[Bearbeiten]

Im 3-dimensionalen Raum spricht man von einem Schnittpunkt (gemeinsamer Punkt) einer Kurve mit einer Fläche. Bei den folgenden Überlegungen sollen (wie oben) nur die transversalen Schnitte einer Kurve mit einer Fläche behandelt werden.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene[Bearbeiten]

Schnittpunkt: Gerade - Ebene

Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung  (x(t),y(t),z(t)) und eine Ebene durch eine Gleichung ax+by+cz=d beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung

ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,

für den Parameter t_0 des Schnittpunktes (x(t_0),y(t_0),z(t_0)). (Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle t\in \R erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.)

Schnittpunkt dreier Ebenen[Bearbeiten]

Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen \varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2 gegeben und soll mit einer dritten Ebene \varepsilon_3: \ \vec n_3\cdot\vec x=d_3 geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen \varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2,3 mit linear unabhängigen Normalenvektoren  \vec n_1,\vec n_2, \vec n_3 besitzen den Schnittpunkt

 \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times \vec n_3) +d_2(\vec n_3\times \vec n_1) + d_3(\vec n_1\times \vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times \vec n_3)} \ .

Zum Beweis überzeuge man sich von \vec n_i\cdot\vec p_0=d_i, \ i=1,2,3 , unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt.

Schnittpunkte einer Kurve mit einer Fläche[Bearbeiten]

Schnittpunkt: Kurve (t,t^2,t^3), Fläche x^4+y^4+z^4=1

Analog wie im ebenen Fall führen die folgenden Fälle zu im Allgemeinen nicht linearen Gleichungssystemen, die mit einem 1- bzw. 3-dimensionalen Newton-Verfahren gelöst werden können:[4]

  • parametrisierte Kurve K: (x(t),y(t),z(t)) und
parametrisierte Fläche F: (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,
  • parametrisierte Kurve K: (x(t),y(t),z(t)) und
implizite Fläche  F: f(x,y,z)=0\ .

Beispiel:

parametrisierte Kurve K: (t,t^2,t^3) und
implizite Fläche F: x^4+y^4+z^4-1=0 (siehe Bild)
Zu lösende Gleichung: t^4 + t^8 + t^{12} - 1=0
Die Schnittpunkte sind: (−0,8587; 0,7374; −0,6332), (0,8587; 0,7374; 0,6332).

Bemerkung: Eine Gerade kann auch in einer Ebene enthalten sein. Dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte. Auch eine Kurve kann teilweise oder vollständig in einer Fläche enthalten sein (siehe Kurven auf der Fläche x^4+y^4+z^4-1=0). In diesen Fällen spricht man aber nicht mehr von Schnittpunkt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt), S. 35,73,74
  2. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 69
  3. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 79
  4. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 147.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Schnittpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen