Affiner Raum

Der affine Raum (gelegentlich auch lineare Mannigfaltigkeit genannt) nimmt im systematischen Aufbau der Geometrie eine Mittelstellung zwischen Euklidischem Raum und Projektivem Raum ein.

Der affine Raum im engsten Sinne ist ein mathematisches Modell für den uns vertrauten dreidimensionalen Anschauungsraum.

In einem weiteren Sinne kann ein affiner Raum, wie andere mathematische Räume auch, eine beliebige Dimension haben: Als affinen Raum kann man auch einen einzelnen Punkt, die affine Gerade, die affine Ebene sowie vier- und höher-, aber in aller Regel nur endlichdimensionale Räume bezeichnen.

Verschiedene mathematische Disziplinen haben unterschiedliche Präzisierungen dieses Begriffs gefunden.

Definition der linearen Algebra

Gegeben seien eine Menge A, deren Elemente geometrisch als Punkte aufgefasst werden, ein Vektorraum V und eine Abbildung von $A \times A$ nach V, die zwei Punkten $P, Q \in A$ einen Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ} \in V$ zuordnet, so dass gilt:

• für alle $P, Q, R \in A$ gilt: $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{PR}$ (Beziehung von Chasles),
• für alle $P \in A$ und alle $\vec{v}\in V$ gibt es einen eindeutigen Punkt $Q \in A$, so dass $\vec{v} = \overrightarrow{PQ}$.

Das Paar (A, V) heißt affiner Raum; wenn klar ist, welcher Vektorraum V zugrunde liegt, bezeichnet man auch A alleine als den affinen Raum. Im affinen Raum ist eine Addition oder Translation als Abbildung von $A \times V$ nach A dadurch definiert, dass $P + \vec{v}$ gerade der über $\vec{v}=\overrightarrow{PQ}$ eindeutig bestimmte Punkt Q ist. Wenn P ein Punkt aus A ist und U ein Untervektorraum von V, dann ist (P+U, U) ein affiner Unterraum von (A, V). Anstelle des Begriffs „affiner Unterraum“ wird auch oft die äquivalente Bezeichnung affiner Teilraum verwendet. Die Dimension des affinen Raums ist definiert als die Dimension des Vektorraums V. Oft ist es bequem, auch die leere Menge als affinen (Teil-)Raum anzusehen, ihr wird dann die Dimension -1 zugeordnet.

Der affine Punktraum und der ihm zugeordnete Vektorraum

1. Wenn im affinen Raum $A$ ein Punkt $O \in A$ als Ursprung fest gewählt wird, hat man durch die Abbildung, die jedem Punkt $P \in A$ die Verschiebung $\overrightarrow{OP}$, den Ortsvektor von $P$, zuordnet, eine eineindeutige Abbildung zwischen dem affinen Raum und seinem Vektorraum der Verschiebungen. Dabei ist zu beachten, dass diese eineindeutige Zuordnung zwischen Punkten und Ortsvektoren von der Wahl des Ursprungs abhängt!
2. Umgekehrt kann man jeden Vektorraum $V$ als affinen Punktraum ansehen: $V\times V\to V$ mit $(\mathbf{v},\mathbf{w})\mapsto \mathbf{w}-\mathbf{v}$ ist die Abbildung, die zwei Punkten ihren Verbindungsvektor zuordnet. Damit wird von vornherein ein Punkt des affinen Raumes ausgezeichnet, nämlich der Nullvektor des Vektorraums.
3. Im ersten Fall kann nach der Identifizierung eines Punktes mit seinem Ortsvektor (abhängig von der Wahl des Ursprungs!), im zweiten Fall kann von vornherein die Addition im Vektorraum $V$ so aufgefasst werden, dass die Gruppe $(V,+)$ als Abbildungsgruppe der Verschiebungen auf sich selbst als Menge von Punkten operiert.

Aus diesen Gründen wird manchmal auf eine rigide Unterscheidung zwischen dem affinen Punktraum einerseits und dem Vektorraum der Verschiebungsvektoren andererseits verzichtet.

Beispiele

• Der $n$-dimensionale euklidische Raum $E^n$ ist der affine Raum über einem $n$-dimensionalen euklidischen Vektorraum (also einem $n$-dimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt).

• Die Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bilden einen affinen Raum über dem Vektorraum der Lösungen des zugehörigen homogenen Systems. Das gilt analog auch für Systeme linearer Differentialgleichungen.

• In der Differentialgeometrie spielen affine Räume eine Rolle in der Theorie der Faserbündel. Beispiele sind die Fasern des affinen Tangentialbündels, des Zusammenhangsbündels und von Jetbündeln.

Verwendung in der algebraischen Geometrie

• In der klassischen algebraischen Geometrie ist der n-dimensionale affine Raum Aⁿ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k die algebraische Varietät kⁿ.

• In der modernen algebraischen Geometrie ist der n-dimensionale affine Raum Aⁿ_A über einem kommutativen Ring A mit Einselement definiert als das Spektrum des Polynomringes A[X₁,…,X_n] in n Unbestimmten.
  Für eine A-Algebra B sind die B-wertigen Punkte von Aⁿ_A gleich Bⁿ.

Definitionen der synthetischen Geometrie

Ein affiner Raum im Sinne der synthetischen Geometrie besteht aus den folgenden Daten:

• einer Menge von Punkten
• einer Menge von Geraden
• einer Inzidenzrelation, die angibt, welche Punkte auf welchen Geraden liegen
• einer Parallelitätsrelation, die angibt, welche Geraden parallel sind,

so dass gewisse Axiome erfüllt sind, die die Anschauung nahelegt, unter anderem Euklids berühmtes Parallelenaxiom.

Die so definierten Strukturen verallgemeinern den Begriff affiner Raum, der im vorliegenden Artikel definiert wird. So gilt:

1. Jeder zweidimensionale affine Raum erfüllt die Forderungen an eine affine Ebene. Eine affine Ebene, die den Satz von Desargues erfüllt, bestimmt einen eindeutigen Schiefkörper, so dass sie geometrisch isomorph zum zweidimensionalen affinen Raum über diesem Schiefkörper ist.
2. Jeder affine Raum erfüllt die Forderungen an eine affine Geometrie. Eine affine Geometrie, die mindestens dreidimensional ist (d.h., die eine affine Ebene als echten Teilraum enthält), erfüllt den Satz von Desargues und bestimmt einen eindeutigen Schiefkörper, so dass sie geometrisch isomorph zu einem mindestens dreidimensionalen Raum über diesem Schiefkörper ist.
3. Jeder affine Raum ist ein schwach affiner Raum
4. Jeder endliche, mindestens zweidimensionale affine Raum ist ein Blockplan.

→ Siehe für weitere Details die genannten Artikel, in denen die verallgemeinerten Strukturen beschrieben sind. Wie sich der Begriff „affiner Raum“ (als Raum mit Verschiebungen, die einen Vektorraum bilden) von den axiomatischen Begriffen der synthetischen Geometrie abgrenzen lässt, wird im Artikel Affine Geometrie genauer dargestellt.

Siehe auch

• Affine Koordinaten

Weblinks

• Vorlesungsskript "Algebra und Geometrie" von Hubert Grassmann
• "Der affine Raum" mit Beispielen von Joachim Mohr