Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

In der Mathematik, genauer in der Gruppenkohomologie, in der homologischen Algebra und in der Zahlentheorie, ist die Lyndon-Spektralsequenz oder Hochschild-Serre-Spektralsequenz eine Spektralsequenz zur Berechnung der Kohomologie einer Gruppe mithilfe der Kohomologie einer normalen Untergruppe und der zugehörigen Quotientengruppe. Die Spektralsequenz wurde veröffentlicht von Roger Lyndon, Gerhard Hochschild und Jean-Pierre Serre.

Aussage

Es sei $G$ eine Gruppe und $N$ eine normale Untergruppe, das heißt $G/N$ ist wiederum eine Gruppe. Es sei außerdem A ein $G$-Modul. Dann gibt es eine kohomologische Spektralsequenz

$H^{p}(G/N,H^{q}(N,A))\to H^{p+q}(G,A)$

und eine homologische Spektralsequenz

$H_{p}(G/N,H_{q}(N,A))\to H_{p+q}(G,A)$.

Fünfterm exakte Sequenz

Die zugehörige Fünfterm exakte Sequenz lautet

$0\to H^{1}(G/N,A^{N})\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(N,A)^{G/N}\to H^{2}(G/N,A^{N})\to H^{2}(G,A).$

Beispiel

Sei $G$ die Heisenberg-Gruppe mit Einträgen aus ganzen Zahlen, d.h.

$G=\left\{\left({\begin{array}{ccc}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{array}}\right):\ a,b,c\in \mathbb {Z} \right\}$.

Dann ist $G$ eine zentrale Erweiterung der Gruppe $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ mit Zentrum $\mathbb {Z}$ zugehörig zur Untergruppe mit a=c=0. Mithilfe der Spektralsequenz kann die Homologie berechnet werden:

$H_{i}(G,\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{cc}\mathbb {Z} &i=0,3\\\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} &i=1,2\\0&i>3.\end{array}}\right.$

Verallgemeinerung

Die Spektralsequenz ist eine Anwendung der Grothendieck-Spektralsequenz: $H*(G,-)$ ist der abgeleitete Funktor des linksexakten Funktors ${(-)}^{G}\colon A\mapsto A^{G}\colon =\{a\in A\colon ga=a\forall g\in G\}$, (G-Invariante) und die Komposition der Funktoren $(-)^{N}$ und $(-)^{G/N}$ ist genau ${(-)}^{G}$.

Literatur

• Roger Lyndon: The cohomology theory of group extensions. Hrsg.: Duke Mathematical Journal. 15. Auflage. 1948, ISSN 0012-7094, doi:10.1215/S0012-7094-48-01528-2. 
• Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of group extensions. Hrsg.: Transactions of the American Mathematical Society. 74. Auflage. 1953, ISSN 0002-9947, doi:10.2307/1990851, JSTOR:1990851. 
• Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt, Kay Wingberg: Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Hrsg.: Springerverlag. 2000, ISBN 978-3-540-66671-4. 
• Kevin P. Knudson: Homology of Linear Groups. Hrsg.: Birkhäuser Verlag (= Progress in Mathematics). 193. Auflage. Basel 2001, ISBN 3-7643-6415-7, doi:10.1007/978-3-0348-8338-2.