Gruppenkohomologie

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Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand.

Definition als abgeleiteter Funktor[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Es sei G eine endliche Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der G-Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul A die Untergruppe A^G der unter G invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe H^n(G, A) von G mit Koeffizienten in einem G-Modul A.

Beziehung zu Ext[Bearbeiten]

Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:

\mathrm H^n(G,A)=\mathrm{Ext}_{\mathbb Z[G]}^n(\mathbb Z,A);

dabei ist \mathbb Z[G] der Gruppenring von G und \mathbb Z mit der trivialen G-Operation versehen.

Definition über Koketten[Bearbeiten]

Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen G-Moduls berechnet werden kann. Sie kann als (\mathbb Z[G^n], d_n) explizit angegeben werden:

d_n(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^i(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n);

dabei ist

(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_n):=(\sigma_1,\ldots,\sigma_{i-1},\sigma_{i+1},\ldots,\sigma_n),

d.h. Index i wird ausgelassen.

Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes (C^n,d^n) mit

C^n=\{f\colon G^{n+1}\to A\mid f(\sigma\sigma_1,\ldots,\sigma\sigma_{n+1})=\sigma\cdot f(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})\}

und

(d^{n-1}f)(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n+1})=\sum_{i=1}^{n+1}(-1)^if(\sigma_1,\ldots,\hat\sigma_i,\ldots,\sigma_{n+1}).

Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.

Inhomogene Koketten[Bearbeiten]

Die Bedingung der G-Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von G um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten (\tilde C^n,\tilde d^n) definiert werden:

\tilde C^n=\{f\colon G^n\to A\}

und

(\tilde d^{n-1}f)(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)=\sigma_1\cdot f(\sigma_2,\ldots,\sigma_n)+{}
{}+\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^if(\sigma_1,\ldots,\sigma_i\sigma_{i+1},\ldots,\sigma_n)+(-1)^nf(\sigma_1,\ldots,\sigma_{n-1}).

Beispielsweise ist

\mathrm H^1(G,A)=\{c\colon G\to A\mid c(\sigma\tau)=c(\sigma)+\sigma c(\tau)\}/\{c_a(\tau)=\tau a-a\mid a\in A\}.

Die inhomogenen 1-Kozykel

c\colon G\to A,\quad c(\sigma\tau)=c(\sigma)+\sigma c(\tau)

heißen verschränkte Homomorphismen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
  • George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
  • Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie, B. I-Hochschulskripten, 713/713a*. Bibliographisches Institut, Mannheim-Vienna-Zürich, 1969. x+308 pp. ISBN 978-3-642-17324-0.