„Kovarianzoperator“ – Versionsunterschied
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*{{Literatur | Autor=Vladimir I. Bogachev| Titel=Gaussian Measures| Herausgeber=American Mathematical Society | Jahr=1998 | ISBN=978-1470418694}} |
*{{Literatur | Autor=Vladimir I. Bogachev| Titel=Gaussian Measures| Herausgeber=American Mathematical Society | Jahr=1998 | ISBN=978-1470418694}} |
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*{{Literatur|Autor= Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk|Jahr=2014|Titel=Stochastic Equations in Infinite Dimensions|Herausgeber=Cambridge University Press|DOI=10.1017/CBO9781107295513}} |
*{{Literatur|Autor= Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk|Jahr=2014|Titel=Stochastic Equations in Infinite Dimensions|Herausgeber=Cambridge University Press|DOI=10.1017/CBO9781107295513}} |
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*{{Literatur|Autor=N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania|Jahr=1987|Titel=Probability Distributions on Banach Spaces|Sammelwerk=Mathematics and its Applications|Band=14|Seiten=144–183}} |
*{{Literatur|Autor=N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania|Jahr=1987|Titel=Probability Distributions on Banach Spaces|Sammelwerk=Mathematics and its Applications|DOI=10.1007/978-94-009-3873-1|Herausgeber=Springer Dordrecht|Band=14|Seiten=144–183}} |
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Version vom 11. Juni 2022, 23:00 Uhr
Der Kovarianzoperator bezeichnet in der Stochastik einen linearen Operator, der den Begriff der Kovarianz auf unendlich-dimensionale Räume erweitert. Der Begriff wird in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis auf Banach- und Hilberträumen verwendet.
Definition
Der Kovarianzoperator lässt sich auf lokalkonvexen Räumen definieren, wir beschränken uns aber auf separable Banach-Räume, da in der Regel ein Banach- bzw. Hilbert-Raum betrachtet wird.
Auf einem Banach-Raum über lässt sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß für jedes lineare Funktional durch das Bildmaß definieren.
Sei ein separabler Banach-Raum mit borelscher σ-Algebra und Wahrscheinlichkeitsmaß darauf.
Kovarianzoperator
Der Kovarianzoperator von ist definiert durch
für wobei den Erwartungwert von bezeichnet
Der Operator induziert eine symmetrische Abbildung durch , welche bilinear und positive definit ist, genannt Kovarianz.
Erläuterungen
Wenn ein Hilbert-Raum ist, dann gilt nach dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz für , dass für alle und ein sowie für ein , somit
für alle .[2]
Beispiele
Der endliche Fall Rn
Sei und . Dann ist die Kovarianzmatrix.
Gaußsches Maß
Sei ein gaußsches Maß auf einem separablen Banach-Raum , dann ist seine Fourier-Transformierte
Einzelnachweise
- ↑ Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4.
- ↑ Charles R. Baker, Ian W. McKeague: Compact Covariance Operators. In: JSTOR (Hrsg.): Proceedings of the American Mathematical Society. Band 83, Nr. 3, 1981, S. 590–593, doi:10.2307/2044126.
Literatur
- Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4.
- Giuseppe Da Prato, Jerzy Zabczyk: Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Hrsg.: Cambridge University Press. 2014, doi:10.1017/CBO9781107295513.
- N. N. Vakhania, V. I. Tarieladze, S. A. Chobanyan Vakhania: Probability Distributions on Banach Spaces. In: Springer Dordrecht (Hrsg.): Mathematics and its Applications. Band 14, 1987, S. 144–183, doi:10.1007/978-94-009-3873-1.