Stochastische Analysis

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Als Stochastische Analysis wird das Teilgebiet der Mathematik bezeichnet, das sich mit den Eigenschaften stochastischer Integrale auseinandersetzt. Dabei wird ein zufallsabhängiges Integral definiert, indem ein stochastischer Prozess, also eine zufallsbedingte Funktion, als Integrator (und häufig auch als Integrand) gewählt wird. Der Wert des Integrals ist somit eine Zufallsvariable.

Als Integrator wird häufig ein Wiener-Prozess W_t verwendet, obwohl allgemeinere Klassen von stochastischen Prozessen (Levy-Prozesse oder noch allgemeiner Semimartingale) möglich sind. Unter den verschiedenen Integraldefinitionen ist das Itō-Integral das geläufigste, da hier unter bestimmten Voraussetzungen der durch \textstyle M_t := \int_a^t X_s \,\mathrm dW_s definierte Prozess ein Martingal ist.

Ein wesentlicher Aspekt der stochastischen Analysis ist die Formulierung und Untersuchung von stochastischen Differentialgleichungen, insbesondere in Hinblick auf die Frage nach der Lösbarkeit solcher Gleichungen. Dieses Gebiet ist eng verbunden mit der klassischen Theorie partieller Differentialgleichungen, zum Teil lassen sich deterministische Gleichungen mit Hilfe stochastischer Methoden lösen.

Anwendungen finden sich bei der Modellierung von Prozessen in der Finanzmathematik, aber auch in Biologie und Physik. Ein prominentes Beispiel ist die Modellierung von Aktienkursentwicklungen, die sich mit Hilfe stochastischer Differentialgleichungen studieren lassen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Thomas Deck: Der Itô-Kalkül. Einführung und Anwendungen. Springer, Berlin/ Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25392-0.
  • Fima C. Klebaner: Introduction to Stochastic Calculus with Applications. 3. Auflage. Imperial College Press, London 2012, ISBN 978-1-84816-831-2.
  • Philip E. Protter: Stochastic integrals and differential equations. 2. Auflage. Version 2.1, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-00313-4.
  • Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. 3. Auflage. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-64325-7.