Stochastische Analysis

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Als Stochastische Analysis wird das Teilgebiet der Mathematik bezeichnet, das sich mit den Eigenschaften stochastischer Integrale auseinandersetzt. Diese Integrale sind zufällige Funktionen, zumeist hängt sowohl der Integrand als auch der Integrator von einem stochastischen Prozess ab.

Üblicherweise werden vor allem Itô-Integrale untersucht, die eine Verallgemeinerung des klassischen Lebesgue-Stieltjes-Integrals darstellen. Integriert wird dabei im Gegensatz zum Stieltjes-Integral nach einer Brownschen Bewegung, also einer zufälligen Funktion. Damit stellt der Wert des Integrals formal eine Zufallsvariable dar, die abhängig vom realisierten Pfad der Brownschen Bewegung ist. Eine Verallgemeinerung dieses Ansatzes besteht darin, Levy-Prozesse (oder allgemeiner: beliebige Semimartingale) als Integratoren zuzulassen.

Anwendungen dieser Integrationstheorie finden sich bei der Modellierung von Prozessen in Biologie und Physik, vor allem aber in der Finanzmathematik. Als prominentestes Beispiel gilt die Wertentwicklung von Aktienkursen, die sich mit Hilfe stochastischer Integrale studieren lässt.

Ein zweiter wesentlicher Aspekt der stochastischen Analysis ist die Untersuchung von stochastischen Differentialgleichungen, insbesondere in Hinblick auf die Frage nach der Lösbarkeit solcher Gleichungen. Dieses Gebiet ist eng verbunden mit der klassischen Theorie partieller Differentialgleichungen, zum Teil lassen sich deterministische Gleichungen mit Hilfe stochastischer Methoden lösen.

[Bearbeiten] Literatur

• J. Jacod, A. Shiryaev: Limit theorems for stochastic processes. Springer, Berlin.
• P. Protter: Stochastic integrals and differential equations. Springer, Berlin.