Ungleichung von Argand

Die Ungleichung von Argand (oder auch argandsche Ungleichung) ist eine Ungleichung aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Sie geht auf eine Publikation des Schweizer Mathematikers Jean-Robert Argand aus dem Jahre 1814 zurück, in der dieser unter Rückgriff auf eine im Jahre 1746 von Jean-Baptiste le Rond d’Alembert vorgelegte Grundidee eine Abschätzung für nicht-konstante komplexe Polynomfunktionen liefert. Mit deren Hilfe lässt sich ein einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra führen .

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt folgendes:

Gegeben seien eine nicht-konstante komplexe Polynomfunktion $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ und eine beliebige komplexe Zahl $z_{0}$ und es gelte $f(z_{0})\neq 0$.

Dann existiert stets eine komplexe Zahl $w$ mit

$|f(w)|<|f(z_{0})|$ .

Anwendung

In Anwendung der argandschen Ungleichung gewinnt man einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra:

Zunächst erhält man nämlich unter Berücksichtigung der Tatsache, dass komplexe Polynomfunktionen immer stetig sind, die Aussage, dass es eine reelle Zahl $r>0$ gibt, so dass stets

$|f(z)|>|f(0)|$ für alle $z\in \mathbb {C}$ mit $z>r$

gilt.

Nun ist mit $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ auch die reellwertige Funktion $|f|\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{\geq 0},\;z\mapsto |f(z)|$ stetig. Da zudem die abgeschlossene Kreisumgebung ${\overline {B}}_{r}(0)$ ein Kompaktum ist, zeigt sich vermöge des Weierstraß'schen Satzes vom Minimum sofort, dass es ein globales Minimum für $|f|$ geben muss, also ein $z_{0}\in \mathbb {C}$ mit

$|f(z_{0})|\leq |f(z)|$ für alle $z\in \mathbb {C}$ .

Dieses $z_{0}$ kann dann nur eine $f$–Nullstelle sein, da sich andernfalls mit der argandschen Ungleichung unmittelbar ein Widerspruch ergäbe.

Literatur

• Joachim Engel: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70545-4. 
• H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. Redaktion: K. Lamotke (= Grundwissen Mathematik. Band 1). 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0. 
• Hans von Mangoldt, Konrad Knopp: Einführung in die höhere Mathematik. Zweiter Band: Differentialrechnung, unendliche Reihen, Elemente der Differentialgeometrie und der Funktionentheorie. 11. Auflage. S. Hirzel Verlag, Stuttgart 1958. 

Weblinks

• Eintrag Argand, Jean Robert im Lexikon der Mathematik (2017)