„Reperbündel“ – Versionsunterschied

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In der [[Mathematik]] im Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] ist ein '''Rahmenbündel'''<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=386–387}}</ref> ein [[Hauptfaserbündel]], das zu einem [[Vektorbündel]] zugeordnet ist. Grob gesagt entspricht das Rahmenbündel der Menge aller [[Vektorraumbasis|Basen]] des zugeordneten Vektorbündeln. Die Elemente eines Rahmenbündels werden als '''Rahmen'''<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=375}}</ref> bezeichnet. Von besonderem Interesse ist das Rahmenbündel, das dem [[Tangentialbündel]] einer [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] zugeordnet wird.
In der [[Mathematik]] im Teilgebiet der [[Differentialgeometrie]] ist ein '''Reperbündel'''<ref>{{Literatur |Autor=Martin Schottenloher |Titel=Geometrie und Symmetrie in der Physik: Leitmotiv der Mathematischen Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2013-03-14 |ISBN=978-3-322-89928-6 |Seiten=252, 254 |Online=https://books.google.de/books?id=0oz0BQAAQBAJ&pg=PA252&dq=Reperb%C3%BCndel&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjJ5-jRlLWDAxUYRfEDHU4SAdUQ6AF6BAgKEAI#v=onepage&q=Reperb%C3%BCndel&f=false |Abruf=2023-12-29}}</ref> bzw. '''Rahmenbündel'''<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=386–387}}</ref> ein [[Hauptfaserbündel]], das zu einem [[Vektorbündel]] zugeordnet ist. Grob gesagt entspricht das Reperbündel der Menge aller [[Vektorraumbasis|Basen]] des zugeordneten Vektorbündeln. Die Elemente eines Reperbündels werden als '''Reper'''<ref>{{Literatur |Autor=P. Sulanke, Wintgen |Titel=Differentialgeometrie und Faserbündel |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2019-06-12 |ISBN=978-3-0348-5949-3 |Seiten=81 |Online=https://books.google.de/books?id=jw3cDwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Reper+b%C3%BCndel+geometrie&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Reper%20b%C3%BCndel%20geometrie&f=false |Abruf=2023-12-29}}</ref> bzw. '''Rahmen'''<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=375}}</ref> bezeichnet. Von besonderem Interesse ist das Reperbündel, das dem [[Tangentialbündel]] einer [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] zugeordnet wird.<ref>{{Literatur |Autor=Helga Baum |Titel=Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2009-04-21 |ISBN=978-3-540-38293-5 |Seiten=82 |Online=https://books.google.de/books?id=9QInBAAAQBAJ&pg=PA82&dq=Reperb%C3%BCndel&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjJ5-jRlLWDAxUYRfEDHU4SAdUQ6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=Reperb%C3%BCndel&f=false |Abruf=2023-12-29}}</ref>


Präziser ausgedrückt ist die Faser eines Rahmenbündels die Menge aller [[Vektorraumbasis|geordneten Basen]]. Somit operiert die [[allgemeine lineare Gruppe]] auf einem Rahmenbündel mittels [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]], wodurch das Rahmenbündel die Struktur eines <math>\operatorname{GL}(n)</math>-Hauptfaserbündels erhält.
Präziser ausgedrückt ist die Faser eines Reperbündels die Menge aller [[Vektorraumbasis|geordneten Basen]]. Somit operiert die [[allgemeine lineare Gruppe]] auf einem Reperbündel mittels [[Basiswechsel (Vektorraum)|Basiswechsel]], wodurch das Reperbündel die Struktur eines <math>\operatorname{GL}(n)</math>-Hauptfaserbündels erhält.


Auf einem [[Prähilbertraum]], also einem Vektorraum mit [[Skalarprodukt]], ist der Begriff der [[Orthonormalbasis]] definiert. Entsprechend kann man einem Vektorbündel mit einer [[Fasermetrik]] ein '''orthonormales Rahmenbündel''' zuordnen, die Elemente des Raums heißen dann '''orthonormale Rahmen'''.<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=454}}</ref>
Auf einem [[Prähilbertraum]], also einem Vektorraum mit [[Skalarprodukt]], ist der Begriff der [[Orthonormalbasis]] definiert. Entsprechend kann man einem Vektorbündel mit einer [[Fasermetrik]] ein '''orthonormales Reperbündel''' (bzw. '''Rahmenbündel''') zuordnen, die Elemente des Raums heißen dann '''orthonormale Reper'''.<ref>{{Literatur |Autor=Mikio Nakahara |Titel=Differentialgeometrie, Topologie und Physik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2015 |ISBN=978-3-662-45300-1 |Seiten=454}}</ref>


== Definition ==
== Definition ==
Es sei <math>\pi_{\mathcal{E}} \colon \mathcal{E} \to B</math> ein [[Vektorbündel]] des Rangs <math>n</math> über dem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>B</math>. Mit <math>\pi_{\operatorname{GL}(\mathcal{E})} \colon \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \to B</math> wird im Folgenden das Vektorbündel bezeichnet, dessen Faser über dem Punkt <math>x \in B</math> dem Raum aller invertierbaren linearen Abbildungen von <math>\R^n</math> nach <math>\mathcal{E}_x</math> entspricht. Das Vektorbündel <math>\operatorname{GL}(\mathcal{E})</math> ist ein [[Hauptfaserbündel]] bezüglich der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n)</math> und der [[Gruppenaktion]] <math>(p \cdot g)(v) := p(g \cdot v)</math> mit <math>p \colon \R^n \to \mathcal{E}_x</math>, <math>g \in \operatorname{GL}(n)</math> und <math>v \in \R^n</math>. Außerdem ist <math>\mathcal{E}</math> natürlich isomorph zu dem zu <math>\operatorname{GL}(\mathcal{E})</math> bezüglich der Gruppe <math>\operatorname{GL}(n)</math> [[Assoziiertes Vektorbündel|assoziierten Bündel]]. Das heißt also <math>\mathcal{E} \cong \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \times_{\operatorname{GL}(n)} \R^n</math>.
Es sei <math>\pi_{\mathcal{E}} \colon \mathcal{E} \to B</math> ein [[Vektorbündel]] des Rangs <math>n</math> über dem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] <math>B</math>. Mit <math>\pi_{\operatorname{GL}(\mathcal{E})} \colon \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \to B</math> wird im Folgenden das Vektorbündel bezeichnet, dessen Faser über dem Punkt <math>x \in B</math> dem Raum aller invertierbaren linearen Abbildungen von <math>\R^n</math> nach <math>\mathcal{E}_x</math> entspricht. Das Vektorbündel <math>\operatorname{GL}(\mathcal{E})</math> ist ein [[Hauptfaserbündel]] bezüglich der [[Allgemeine lineare Gruppe|allgemeinen linearen Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n)</math> und der [[Gruppenaktion]] <math>(p \cdot g)(v) := p(g \cdot v)</math> mit <math>p \colon \R^n \to \mathcal{E}_x</math>, <math>g \in \operatorname{GL}(n)</math> und <math>v \in \R^n</math>. Außerdem ist <math>\mathcal{E}</math> natürlich isomorph zu dem zu <math>\operatorname{GL}(\mathcal{E})</math> bezüglich der Gruppe <math>\operatorname{GL}(n)</math> [[Assoziiertes Vektorbündel|assoziierten Bündel]]. Das heißt also <math>\mathcal{E} \cong \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \times_{\operatorname{GL}(n)} \R^n</math>.


Das konstruierte Hauptfaserbündel <math>\pi_{\operatorname{GL}(\mathcal{E})} \colon \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \to B</math> mit den zuvor genannten Eigenschaften wird Rahmenbündel genannt. Die Elemente eines Rahmenbündels werden am Rahmen bezeichnet.<ref>[[Nicole Berline]], [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 14–15.</ref><ref name="Walschap2012">{{Literatur |Autor=Gerard Walschap |Titel=Metric Structures in Differential Geometry |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2012 |ISBN=978-0-387-21826-7 |Seiten=62–64}}</ref><ref name="Taubes2011">{{Literatur |Autor=Clifford Taubes |Titel=Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature |Verlag=OUP Oxford |Datum=2011 |ISBN=978-0-19-960588-0 |Seiten=106–107}}</ref>
Das konstruierte Hauptfaserbündel <math>\pi_{\operatorname{GL}(\mathcal{E})} \colon \operatorname{GL}(\mathcal{E}) \to B</math> mit den zuvor genannten Eigenschaften wird Reperbündel genannt. Die Elemente eines Reperbündels werden als Reper bezeichnet.<ref>[[Nicole Berline]], [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 14–15.</ref><ref name="Walschap2012">{{Literatur |Autor=Gerard Walschap |Titel=Metric Structures in Differential Geometry |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2012 |ISBN=978-0-387-21826-7 |Seiten=62–64}}</ref><ref name="Taubes2011">{{Literatur |Autor=Clifford Taubes |Titel=Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature |Verlag=OUP Oxford |Datum=2011 |ISBN=978-0-19-960588-0 |Seiten=106–107}}</ref>


== Orthogonales Rahmenbündel ==
== Orthogonales Rahmenbündel ==
Sei nun <math>\pi_{\mathcal{E}} \colon \mathcal{E} \to B</math> ein Vektorbündel mit einer [[Skalarprodukt|Metrik]], so dass die Fasern des Bündels ein Prähilbertraum sind. Dann können auch orthonormale Basen auf den Prähilberträumen betrachtet werden.
Sei nun <math>\pi_{\mathcal{E}} \colon \mathcal{E} \to B</math> ein Vektorbündel mit einer [[Skalarprodukt|Metrik]], so dass die Fasern des Bündels ein Prähilbertraum sind. Dann können auch orthonormale Basen auf den Prähilberträumen betrachtet werden.


Ein orthonormales Rahmenbündel von <math>\mathcal{E}</math> ist dann die Menge aller orthonormalen Vektorraumbasen über jedem Punkt <math>x</math> des Basisraums <math>B</math>. Das orthonormale Rahmenbündel kann auch analog zu dem gewöhnlichen Rahmenbündel als zu dem zu <math>O(\mathcal{E})</math> bezüglich der [[Orthogonale Gruppe|orthogonalen Gruppe]] <math>O(n)</math> assoziierten Bündel definiert werden. Es gilt also <math>\mathcal{E} \cong O(\mathcal{E}) \times_{O(n)} \R^n</math>, wobei <math>O(\mathcal{E})</math> also das Vektorbündel ist, dessen Fasern die Menge alle geordneten orthonormalen Basen ist.<ref>[[Nicole Berline]], [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 30.</ref>
Ein orthonormales Reperbündel von <math>\mathcal{E}</math> ist dann die Menge aller orthonormalen Vektorraumbasen über jedem Punkt <math>x</math> des Basisraums <math>B</math>. Das orthonormale Rahmenbündel kann auch analog zu dem gewöhnlichen Reperbündel als zu dem zu <math>O(\mathcal{E})</math> bezüglich der [[Orthogonale Gruppe|orthogonalen Gruppe]] <math>O(n)</math> assoziierten Bündel definiert werden. Es gilt also <math>\mathcal{E} \cong O(\mathcal{E}) \times_{O(n)} \R^n</math>, wobei <math>O(\mathcal{E})</math> also das Vektorbündel ist, dessen Fasern die Menge alle geordneten orthonormalen Basen ist.<ref>[[Nicole Berline]], [[Ezra Getzler]], [[Michèle Vergne]]: ''Heat kernels and Dirac operators'' (= ''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 30.</ref>


Somit ist auch das orthonormale Rahmenbündel ein Hauptfaserbündel mit der orthogonalen Gruppe <math>O(n)</math> als Strukturgruppe.<ref name="CorderoDodson1988">{{Literatur |Autor=L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León |Titel=Differential Geometry of Frame Bundles |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=1988 |ISBN=0-7923-0012-2 |Seiten=122ff.}}</ref><ref name="Walschap2012" />
Somit ist auch das orthonormale Reperbündel ein Hauptfaserbündel mit der orthogonalen Gruppe <math>O(n)</math> als Strukturgruppe.<ref name="CorderoDodson1988">{{Literatur |Autor=L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León |Titel=Differential Geometry of Frame Bundles |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=1988 |ISBN=0-7923-0012-2 |Seiten=122ff.}}</ref><ref name="Walschap2012" />


== Literatur ==
== Literatur ==

Version vom 29. Dezember 2023, 19:42 Uhr

In der Mathematik im Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Reperbündel[1] bzw. Rahmenbündel[2] ein Hauptfaserbündel, das zu einem Vektorbündel zugeordnet ist. Grob gesagt entspricht das Reperbündel der Menge aller Basen des zugeordneten Vektorbündeln. Die Elemente eines Reperbündels werden als Reper[3] bzw. Rahmen[4] bezeichnet. Von besonderem Interesse ist das Reperbündel, das dem Tangentialbündel einer glatten Mannigfaltigkeit zugeordnet wird.[5]

Präziser ausgedrückt ist die Faser eines Reperbündels die Menge aller geordneten Basen. Somit operiert die allgemeine lineare Gruppe auf einem Reperbündel mittels Basiswechsel, wodurch das Reperbündel die Struktur eines -Hauptfaserbündels erhält.

Auf einem Prähilbertraum, also einem Vektorraum mit Skalarprodukt, ist der Begriff der Orthonormalbasis definiert. Entsprechend kann man einem Vektorbündel mit einer Fasermetrik ein orthonormales Reperbündel (bzw. Rahmenbündel) zuordnen, die Elemente des Raums heißen dann orthonormale Reper.[6]

Definition

Es sei ein Vektorbündel des Rangs über dem topologischen Raum . Mit wird im Folgenden das Vektorbündel bezeichnet, dessen Faser über dem Punkt dem Raum aller invertierbaren linearen Abbildungen von nach entspricht. Das Vektorbündel ist ein Hauptfaserbündel bezüglich der allgemeinen linearen Gruppe und der Gruppenaktion mit , und . Außerdem ist natürlich isomorph zu dem zu bezüglich der Gruppe assoziierten Bündel. Das heißt also .

Das konstruierte Hauptfaserbündel mit den zuvor genannten Eigenschaften wird Reperbündel genannt. Die Elemente eines Reperbündels werden als Reper bezeichnet.[7][8][9]

Orthogonales Rahmenbündel

Sei nun ein Vektorbündel mit einer Metrik, so dass die Fasern des Bündels ein Prähilbertraum sind. Dann können auch orthonormale Basen auf den Prähilberträumen betrachtet werden.

Ein orthonormales Reperbündel von ist dann die Menge aller orthonormalen Vektorraumbasen über jedem Punkt des Basisraums . Das orthonormale Rahmenbündel kann auch analog zu dem gewöhnlichen Reperbündel als zu dem zu bezüglich der orthogonalen Gruppe assoziierten Bündel definiert werden. Es gilt also , wobei also das Vektorbündel ist, dessen Fasern die Menge alle geordneten orthonormalen Basen ist.[10]

Somit ist auch das orthonormale Reperbündel ein Hauptfaserbündel mit der orthogonalen Gruppe als Strukturgruppe.[11][8]

Literatur

  • L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2.

Einzelnachweise

  1. ↑ Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik: Leitmotiv der Mathematischen Physik. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-89928-6, S. 252, 254 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  2. ↑ Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 386–387.
  3. ↑ P. Sulanke, Wintgen: Differentialgeometrie und Faserbündel. Springer-Verlag, 2019, ISBN 978-3-0348-5949-3, S. 81 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  4. ↑ Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 375.
  5. ↑ Helga Baum: Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Springer-Verlag, 2009, ISBN 978-3-540-38293-5, S. 82 (google.de [abgerufen am 29. Dezember 2023]).
  6. ↑ Mikio Nakahara: Differentialgeometrie, Topologie und Physik. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-662-45300-1, S. 454.
  7. ↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 14–15.
  8. ↑ a b Gerard Walschap: Metric Structures in Differential Geometry. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-0-387-21826-7, S. 62–64.
  9. ↑ Clifford Taubes: Differential Geometry: Bundles, Connections, Metrics and Curvature. OUP Oxford, 2011, ISBN 978-0-19-960588-0, S. 106–107.
  10. ↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 30.
  11. ↑ L. A. Cordero, C.T. Dodson, Manuel de León: Differential Geometry of Frame Bundles. Springer Science & Business Media, 1988, ISBN 0-7923-0012-2, S. 122 ff.
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