„Kreisfrequenz“ – Versionsunterschied
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[[Datei:Spannung_Zeiger.svg|thumb|Zeigerdarstellung der Eulerschen Formel mit zeitabhängigen Argument in der komplexen Ebene (am Beispiel einer [[Wechselspannung]]). Der Vektor <math>\underline{u}</math> dreht sich konstant mit der Zeit um den Winkel <math>\varphi</math>.]] |
[[Datei:Spannung_Zeiger.svg|thumb|Zeigerdarstellung der Eulerschen Formel mit zeitabhängigen Argument in der komplexen Ebene (am Beispiel einer [[Wechselspannung]]). Der Vektor <math>\underline{u}</math> dreht sich konstant mit der Zeit um den Winkel <math>\varphi</math>.]] |
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Die '''Kreisfrequenz''' ist ein wichtiger Begriff in der Schwingungslehre. Sie tritt bei der periodischen Änderung physikalischer Größen auf. Eine [[harmonische Schwingung]], z.B. eine [[Wechselspannung]], kann mathematisch als Realteil oder Imaginärteil eines mit konstanter [[Winkelgeschwindigkeit]] rotierenden komplexen Zeigers in der [[Gaußsche Zahlenebene|gaußschen Zahlenebene]] interpretiert werden.<ref name="Zeiger">[http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung Die harmonische Schwingung, mathe online]</ref> Als Hilfsgröße erleichtert die Kreisfrequenz dabei viele Berechnungen. Sie ergibt sich aus der [[Schwingungsdauer]] <math>T</math> durch |
Die '''Kreisfrequenz''' ist ein wichtiger Begriff in der Schwingungslehre. Sie tritt bei der periodischen Änderung physikalischer Größen auf. Eine [[harmonische Schwingung]], z.B. eine [[Wechselspannung]], kann mathematisch als Realteil oder Imaginärteil eines mit konstanter [[Winkelgeschwindigkeit]] rotierenden komplexen Zeigers in der [[Gaußsche Zahlenebene|gaußschen Zahlenebene]] interpretiert werden.<ref name="Zeiger">[http://www.mathe-online.at/lernpfade/harmonischeSchwingung Die harmonische Schwingung, mathe online]</ref> Als Hilfsgröße erleichtert die Kreisfrequenz dabei viele Berechnungen. Sie ergibt sich aus der [[Schwingungsdauer]] <math>T</math> durch |
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bzw. aus der [[Frequenz]] ''f'', als Kehrwert der Schwingungsdauer, |
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Systeme werden mit unterschiedlichen, jeweils konstanten ''Erreger-Kreisfrequenzen'' am Eingang angeregt. Aus dem Amplitudenverhältnis zwischen Ausgang und Eingang, sowie der Phase ergibt sich der [[Frequenzgang]]. |
Systeme werden mit unterschiedlichen, jeweils konstanten ''Erreger-Kreisfrequenzen'' am Eingang angeregt. Aus dem Amplitudenverhältnis zwischen Ausgang und Eingang, sowie der Phase ergibt sich der [[Frequenzgang]]. |
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== komplexe Kreisfrequenz == |
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Ist die Kreisfrequenz <math>\omega</math> nicht reell sondern eine komplexe Zahl, so spricht man von einer komplexen Kreisfrequenz. Der Realteil der komplexen Kreisfrequenz ist dabei nach wie vor das <math>2\pi</math>-fache der Frequenz. Der Imaginärteil gibt jedoch den Dämpfungsfaktor an.<ref>{{Literatur | Autor=[[Albrecht Lindner]] | Titel= Grundkurs theoretische Physik | Auflage=2. | Verlag=Teubner Verlag | Seiten=128f | Jahr=1997 | ISBN=978-3-519-13095-6 | Online = [http://books.google.de/books?id=P8a2_XDTZSgC&pg=PA128&hl=de&ei=o3VlTdfJA8-74gb6k8mkBg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CDIQ6AEwAQ#v=onepage google books]}}</ref> |
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So kann zum Beispiel eine [[Gedämpfte_Schwingung#Lineare_gedämpfte_Schwingung|lineare gedämpfte Schwingung]] wie folgt dargestellt werden: |
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:<math>x(t) =\operatorname{Im}(x_o \cdot e^{i \omega t}) |
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= \operatorname{Im}(x_o \cdot e^{-\operatorname{Im}(\omega t)+i\operatorname{Re}(\omega t)}) |
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= x_o \cdot e^{-\operatorname{Im}(\omega t)}\cdot \operatorname{Im}(e^{i\operatorname{Re}(\omega t)}) |
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= x_o \cdot e^{-\operatorname{Im}(\omega t)}\cdot \sin(\operatorname{Re}(\omega t))</math> |
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== Einzelnachweise == |
== Einzelnachweise == |
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Version vom 23. Februar 2011, 23:34 Uhr
Die Kreisfrequenz ist ein wichtiger Begriff in der Schwingungslehre. Sie tritt bei der periodischen Änderung physikalischer Größen auf. Eine harmonische Schwingung, z.B. eine Wechselspannung, kann mathematisch als Realteil oder Imaginärteil eines mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden komplexen Zeigers in der gaußschen Zahlenebene interpretiert werden.[1] Als Hilfsgröße erleichtert die Kreisfrequenz dabei viele Berechnungen. Sie ergibt sich aus der Schwingungsdauer durch
bzw. aus der Frequenz f, als Kehrwert der Schwingungsdauer,
Der Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus wird über die Eulersche Formel hergestellt. Der Unterschied zwischen Kreisfrequenz und Frequenz ist der Faktor .
Eine harmonische Schwingung (Sinusschwingung) lässt sich im einfachsten Fall beschreiben als
In der Physik wird dies oft in komplexer Schreibweise dargestellt:
Bei linearen Systemen mit konjugiert komplexen Eigenwerten lassen sich daraus die Eigen-Kreisfrequenz(en), das Lehrsche Dämpfungsmaß und die Abklingkonstante berechen. Beispiele sind das Federpendel oder das Fadenpendel.
Bei der mathematischen Beschreibung physikalischer Wellen findet die Kreisfrequenz ebenfalls Anwendung.
Systeme werden mit unterschiedlichen, jeweils konstanten Erreger-Kreisfrequenzen am Eingang angeregt. Aus dem Amplitudenverhältnis zwischen Ausgang und Eingang, sowie der Phase ergibt sich der Frequenzgang.
komplexe Kreisfrequenz
Ist die Kreisfrequenz nicht reell sondern eine komplexe Zahl, so spricht man von einer komplexen Kreisfrequenz. Der Realteil der komplexen Kreisfrequenz ist dabei nach wie vor das -fache der Frequenz. Der Imaginärteil gibt jedoch den Dämpfungsfaktor an.[2]
So kann zum Beispiel eine lineare gedämpfte Schwingung wie folgt dargestellt werden:
Einzelnachweise
- ↑ Die harmonische Schwingung, mathe online
- ↑ Albrecht Lindner: Grundkurs theoretische Physik. 2. Auflage. Teubner Verlag, 1997, ISBN 978-3-519-13095-6, S. 128 f. (google books).