„Auswahlsatz von Blaschke“ – Versionsunterschied
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Version vom 16. Februar 2012, 23:43 Uhr
Der Auswahlsatz von Blaschke (Blaschke Selection Theorem in der englischsprachigen Literatur) ist ein mathematischer Satz, welcher ein Konvergenzproblem der Konvexgeometrie behandelt. Der Satz ist dem Übergangsfeld zwischen Konvexgeometrie und Topologie zuzurechnen. Er wurde von dem Geometer Wilhelm Blaschke in dessen Schrift Kreis und Kugel im Jahre 1916 vorgestellt.
Formulierung des Auswahlsatzes
Der Auswahlsatz von Blaschke lässt sich in moderner Fassung formulieren wie folgt [1] [2] [3] [4] [5] :
- Gegeben sei eine Folge von nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen eines endlich-dimensionalen normierten Vektorraums über .
- Sind diese Teilmengen gleichmäßig beschränkt in dem Sinne, dass sie alle von einer kompakten Teilmenge von umfasst werden, so lässt sich eine Teilfolge auswählen, welche in der Hausdorff-Metrik gegen eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge von konvergiert .
Andere Formulierung des Auswahlsatzes
Bezeichnet man mit das Mengensystem der nichtleeren kompakten konvexen Teilmengen des normierten Vektorraums und mit die Hausdorff-Metrik auf , so besagt der Auswahlsatz:
- ist ein lokalkompakter metrischer Raum [6] [7] .
Anwendungen
Der Auswahlsatz findet häufig dort Anwendung, wo Existenzbeweise zu Extremalproblemen der Konvexgemetrie zu führen sind [8]. Wie schon Wilhelm Blaschke in Kreis und Kugel [9] zeigt, kann mit Hilfe des Auswahlsatzes z. B. die Isoperimetrische Ungleichung abgeleitet werden.
Verwandte Resultate
Der Auswahlsatz von Blaschke ergibt sich als Folgerung aus dem Satz von Arzelà-Ascoli und erweist sich in einer verallgemeinerten Fassung zu jenem (in der klassischen Form) sogar als äquivalent [10].
Literatur
- Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel [Nachdruck der Ausgabe Leipzig, 1916]. Chelsea Publishing Company, New York 1949.
- Tommy Bonnesen und Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1974, ISBN 3-540-06234-3.
- Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2.
- Hugo Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1957, ISBN 3-540-02151-5.
- Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York [u.a.] 1982, ISBN 0-471-09584-2.
- Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser, Basel [u.a.] 1977, ISBN 3-7643-0839-7.
- Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (BI-Hochschultaschenbücher 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.
Einzelnachweise
<references>