Konvexgeometrie

Die Konvexgeometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie. Sie wurde von Hermann Minkowski begründet und behandelt die Theorie der konvexen Mengen in $n$-dimensionalen reellen affinen oder Vektorräumen. Minkowski entwickelte seine Theorie in seinem Werk Geometrie der Zahlen (Leipzig 1896 und 1910).

Die Konvexgeometrie hat zahlreiche Bezüge zu anderen Teilgebieten der Mathematik wie etwa der Zahlentheorie, der Funktionalanalysis oder der diskreten Mathematik.

Definition

Eine Teilmenge eines reellen $n$-dimensionalen Vektorraumes heißt konvex, wenn sie mit je zwei Punkten A und B ebenso alle Punkte zwischen ihnen enthält, also die Punkte der Strecke AB. Zu jeder Teilmenge M des reellen Raumes existiert ihre konvexe Hülle, das ist der Durchschnitt aller M enthaltenden konvexen Mengen.

Die konvexen Hüllen endlich vieler Punkte heißen konvexe Polyeder oder Polytope. Eigentliche Polytope sind solche, die nicht in einem echten affinen Unterraum liegen. Klassische Beispiele sind Dreieck, konvexes Viereck und Parallelogramm in der Ebene, Tetraeder, Quader, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder im dreidimensionalen Raum, Simplex in beliebigen Dimensionen. Man kann Polyeder als Vereinigungen endlich vieler Polytope erklären und auf diese Definition die Geometrie der Polyeder aufbauen.

Auswahl klassischer Resultate der Konvexgeometrie

• Satz von Barbier
• Auswahlsatz von Blaschke
• Brunn-Minkowski-Ungleichung
• Satz von Carathéodory
• Satz von Cauchy
• Eulersche Polyederformel
• Satz von Helly
• Isoperimetrische Ungleichung
• Satz von Jung
• Satz von Kirchberger
• Satz von Krasnoselskii
• Satz von Minkowski
• Minkowskischer Gitterpunktsatz
• Satz von Pick
• Satz von Radon

Siehe auch

Viele der oben genannten Sätze gelten in unendlich-dimensionalen Räumen nur noch in abgeschwächter Form. Siehe dazu etwa Satz von Krein-Milman oder Choquet-Theorie.

Literatur

•  Wilhelm Blaschke: Kreis und Kugel. Verlag Walter de Gruyter, Berlin 1956.
•  Wilhelm Blaschke: Gesammelte Werke. Bd. 3. Konvexgeometrie. Hrsg. von Werner Burau. Thales-Verlag, Essen 1985, ISBN 3-88908-203-3.
•  Tommy Bonnesen und Werner Fenchel: Theorie der konvexen Körper. Berichtigter Reprint. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1974, ISBN 3-540-06234-3.
•  Arne Brøndsted: An introduction to convex polytopes. Springer-Verlag, New York [u.a.] 1983, ISBN 0-387-90722-X.
•  W. A. Coppel: Foundations of Convex Geometry. Cambridge University Press, Cambridge 1998, ISBN 0-521-63970-0.
•  Peter M. Gruber: Convex and Discrete Geometrie. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 2007, ISBN 978-3-540-71132-2.
•  Hugo Hadwiger: Altes und Neues über konvexe Körper. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1955.
•  Isaak M. Jaglom und W. G. Boltjanskij: Konvexe Figuren. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1956.
•  Victor L. Klee [Hrsg.]: Convexity. Proceedings of the Seventh Symposium in Pure Mathematics of the American Mathematical Society, held at the University of Washington, Seattle, Washington, June 13 - 15, 1961. American Mathematical Society, Providence, RI 1963.
•  Steven R. Lay: Convex sets and their applications. John Wiley & Sons, New York [u.a.] 1982, ISBN 0-471-09584-2.
•  Paul J. Kelly und Max L. Weiss: Geometry and convexity. John Wiley & Sons, New York [u.a.] 1979, ISBN 0-471-04637-X.
•  Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. Springer-Verlag, Berlin [u.a.] 1980, ISBN 3-540-09071-1.
•  Jürg T. Marti: Konvexe Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel [u.a.] 1977, ISBN 3-7643-0839-7.
•  Hermann Minkowski: Geometrie der Zahlen (Reprint of the 1896 edition]. Chelsea Publ. Co., New York 1953.
•  Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (BI-Hochschultaschenbücher 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968.
•  Günter M. Ziegler: Lectures on Polytopes. Springer-Verlag, New York [u. a.] 1995, ISBN 0-387-94365-X.

Weblink

• [1] Link zu "Einführung in die Konvexgeometrie" (Skript von Dr. Ivan Izmestiev, WS 03/04, damals FU Berlin)