72er-Regel

Die 72er-Regel ist ein Begriff aus der Finanzmathematik zur Zinsrechnung. Die Regel, tatsächlich nur eine Abschätzung, gibt an, nach wie vielen Jahren eine Kapitalanlage sich im Nennwert verdoppelt. Die Inflationsrate ist dabei nicht berücksichtigt. Dazu teilt man 72 durch die Prozentzahl $p$ des jährlichen Zinssatzes des angelegten Betrages, daher auch der Name dieser Regel. Die Formel für die Abschätzung der Verdopplungszeit $t$ (in Jahren) lautet dann:

$t \approx \frac{72}{p}$.

Beispiele

Ein Betrag, angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 8 % wird sich nach etwa $\tfrac{72}{8}$, also 9 Jahren verdoppeln. Ein anderes Beispiel kommt aus dem Bereich Bevölkerungswachstum. Eine Bevölkerung verdoppelt sich bei einem Wachstum von beispielsweise 4 % nach ungefähr $\tfrac{72}{4}$ Jahren, also nach näherungsweise 18 Jahren.

Herleitung

Im Folgenden bezeichnet $p$ den Zinssatz in Prozent, also beispielsweise $p = 6$, wenn der Zinssatz 6 % beträgt. Weiter bezeichnet $t$ die Zeit in Jahren bis zur Verdopplung.

Wendet man den Logarithmus auf die einfache Zinseszinsformel an, ergibt sich, dass die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung gleich $\tfrac{\ln(2)}{\ln(1 + p/100)}$ ist. Weil $\!\ \ln(1 + x)$ für betragsmäßig kleine $x$ gegen $x$ konvergiert (siehe Taylor-Reihe), ergibt sich angenähert die Formel $t \approx \tfrac{\ln(2)}{p/100}$. Mit $\ln(2)\approx 0{,}6931$ ist folglich $t \approx \tfrac{69{,}31}{p}$.

Nähert man nun $\ln(2)$ durch $0{,}69$ oder $0{,}70$ spricht man von der 69er-Regel oder 70er-Regel. Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch $0{,}72$ bewährt, unter anderem weil 72 viele kleine Teiler aufweist $(72 = 2^3 \cdot 3^2)$.

Vergleich von Abschätzung und tatsächlichem Wert

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er- und der 69er-Regel mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze.

Zinssatz $p$	Zeit bis zur Verdopplung $t$	72er-Regel	70er-Regel	69er-Regel
0,25 %	277,605	288,000	280,000	277,200
0,5 %	138,976	144,000	140,000	138,600
1 %	69,661	72,000	70,000	69,300
2 %	35,003	36,000	35,000	34,650
3 %	23,450	24,000	23,333	23,100
4 %	17,673	18,000	17,500	17,325
5 %	14,207	14,400	14,000	13,860
6 %	11,896	12,000	11,667	11,550
7 %	10,245	10,286	10,000	9,900
8 %	9,006	9,000	8,750	8,663
9 %	8,043	8,000	7,778	7,700
10 %	7,273	7,200	7,000	6,930
11 %	6,642	6,545	6,364	6,300
12 %	6,116	6,000	5,833	5,775
15 %	4,959	4,800	4,667	4,620
18 %	4,188	4,000	3,889	3,850
20 %	3,802	3,600	3,500	3,465
25 %	3,106	2,880	2,800	2,772
30 %	2,642	2,400	2,333	2,310
40 %	2,060	1,800	1,750	1,733
50 %	1,710	1,440	1,400	1,386