72er-Regel

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Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise an, nach wie vielen Jahren sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt. Dazu teilt man 72 durch die Prozentzahl des jährlichen Zinssatzes des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Formel[Bearbeiten]

Die Zeit t (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz p (in Prozent) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:

t \approx \frac{72}{p} ~\text{Jahre}.

Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinssatz p benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit t zu verdoppeln:

p \approx \frac{72 ~\text{Jahre}}{t}.

Beispiele[Bearbeiten]

In welcher Zeit t wird sich ein Betrag, der zu einem Zinssatz von p = 8\,\% pro Jahr angelegt ist, verdoppeln?

t = \frac{72}{p} ~\text{Jahre} = \frac{72}{8} ~\text{Jahre} = 9 ~\text{Jahre}

Welchen Zinssatz p benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum t=12 Jahre zu verdoppeln?

p = \frac{72 ~\text{Jahre}}{t} = \frac{72 ~\text{Jahre}}{12 ~\text{Jahre}} = 6\,\%

Selbstverständlich kann die 72er-Regel nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art von exponentiellem Wachstum angewandt werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeit, bis sich eine Bevölkerung verdoppelt, bei einem jährlichen Bevölkerungswachstum von 4\,\% ungefähr \tfrac{72}{4}=18 Jahre.

Herleitung[Bearbeiten]

Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital K_t einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital K_0 bei einem Zinssatz von p (in Prozent) nach einer Laufzeit von t Jahren bei jährlicher Verzinsung

K_t = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t.

Setzt man nun K_t=2K_0, wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach t auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

t = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}.

Nachdem \!\ \ln(1 + x) für betragsmäßig kleine x gegen x konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit \ln(2)\approx 0{,}6931 ergibt sich als Näherungsformel

t \approx \frac{0{,}6931}{\frac{p}{100}} = \frac{69{,}31}{p}.

Nähert man nun \ln(2) durch 0{,}69 oder 0{,}70, so spricht man von der 69er-Regel[1] oder der 70er-Regel.[2] Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch 0{,}72 bewährt, unter anderem weil die Zahl 72 viele kleine Teiler aufweist (72 = 2^3 \cdot 3^2).[3] Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

t \approx \frac{69}{p} + 0.35,

die man durch Taylor-Entwicklung der Logarithmusfunktion bis zur zweiten Ordnung erhält.[4][5]

Genauigkeit[Bearbeiten]

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und der modifizierten 69er-Regel mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze.

Zinssatz p Verdopplungs-
zeit t
72er-Regel 70er-Regel 69er-Regel 69er-Regel
(modifiziert)
0,25 % 277,605 288,000 280,000 276,000 276,350
0,5 % 138,976 144,000 140,000 138,000 138,350
1 % 69,661 72,000 70,000 69,000 69,350
2 % 35,003 36,000 35,000 34,500 34,850
3 % 23,450 24,000 23,333 23,000 23,350
4 % 17,673 18,000 17,500 17,250 17,600
5 % 14,207 14,400 14,000 13,800 14,150
6 % 11,896 12,000 11,667 11,500 11,850
7 % 10,245 10,286 10,000 9,857 10,207
8 % 9,006 9,000 8,750 8,625 8,975
9 % 8,043 8,000 7,778 7,667 8,017
10 % 7,273 7,200 7,000 6,900 7,250
11 % 6,642 6,545 6,364 6,273 6,623
12 % 6,116 6,000 5,833 5,750 6,100
15 % 4,959 4,800 4,667 4,600 4,950
18 % 4,188 4,000 3,889 3,833 4,183
20 % 3,802 3,600 3,500 3,450 3,800
25 % 3,106 2,880 2,800 2,760 3,110
30 % 2,642 2,400 2,333 2,300 2,650
40 % 2,060 1,800 1,750 1,725 2,075
50 % 1,710 1,440 1,400 1,380 1,730

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89.
  2.  M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361.
  3.  R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360.
  4.  J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. 39, 1974, S. 397–398.
  5.  Richard P. Brief: A note on „rediscovery“ and the rule of 69. In: The Accounting Review. 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.

Weblinks[Bearbeiten]