Zinsrechnung

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Die Zinsrechnung beschreibt ein mathematisches Verfahren zur Berechnung von Zinsen, die als Entgelt auf geliehene Geldbeträge erhoben werden.

Grundsätzlich unterteilt sich die Zinsrechnung in die „Einfache Zinsrechnung“, bei der anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen sowie der zu verzinsende Geldbetrag, z. B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage, nicht addiert werden, und die Zinseszinsrechnung, bei der nicht ausgezahlte Zinsen zum Grundbetrag addiert und bei der weiteren Verzinsung berücksichtigt werden.

Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden. Standardfall ist die jährliche Verzinsung: Das Kapital wird einmal jährlich, üblicherweise am Jahresende, verzinst. Dabei wird die Verzinsung im Anschluss an die Zinsperiode als dekursiv, die Vorabverzinsung als antizipativ bezeichnet.

Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben, so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht hierbei von gebrochener Laufzeit.

Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten beziehungsweise geliehenen Betrag ausgeht (Anfangskapital), beschäftigt sich das Teilgebiet der Rentenrechnung mit regelmäßigen Ein- und Auszahlungen. Für Berechnungen über die Tilgung von Krediten existiert die Tilgungsrechnung.

Vorbemerkungen[Bearbeiten]

Die in diesem Artikel aufgeführten Formeln für die Zinsrechnung verwenden folgende Symbole:

  • Anfangskapital: K0 (Kapital nach 0 Jahren)
  • Endkapital: Kn (Kapital nach n Jahren)
  • Laufzeit (ganze Jahre): n Eingabe in Jahren
  • Laufzeit (Tage): t Eingabe in Tagen
  • Zinssatz: p (pro Zinsperiode)
  • Zinssatz als Dezimalangabe: i = \tfrac{p}{100} (pro Zinsperiode)
  • Zinssatz als Zinsfaktor: q = 1 + i = 1 + \tfrac{p}{100} (pro Zinsperiode)

Je nach Berechnungsmethode schwankt das Jahr zwischen 360 und 366 Tagen, der Monat zwischen 28 und 30 bis 31 Tagen. Z. B. 7 % Zinssatz für die Laufzeit von 360 Tagen.

Jährliche Verzinsung[Bearbeiten]

Einfache Zinsen ohne Zinseszinsen (lineare Verzinsung)[Bearbeiten]

Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital

K_n = K_0 + K_0 \cdot n \cdot i = K_0 \cdot (i \cdot n + 1)

Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:

i = \frac{1}{n} \cdot \left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)
n = \frac{1}{i} \cdot \left( \frac{K_n}{K_0} - 1 \right)

Beispiel[Bearbeiten]

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

K_2 = 1000 \; \euro \cdot (2 \cdot 0{,}05 + 1) = 1100 \; \euro

Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung)[Bearbeiten]

Hauptartikel: Zinseszins

Die Formel für das Kapital nach n Jahren bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen lautet:

K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n = K_0 \cdot q^n

Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:

K_0 = \frac{K_n}{(1 + i)^n} = \frac{K_n}{q^n}
i = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 \qquad \text{oder} \qquad q = \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}}
p = \left( \sqrt[n]{\frac{K_n}{K_0}} - 1 \right) \cdot 100
n = \frac{\ln{\frac{K_n}{K_0}}}{\ln{(1 + i)}} = \frac{\ln{K_n} - \ln{K_0}}{\ln{q}}

Beispiele[Bearbeiten]

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei jährlicher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

K_2 = 1000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}05)^2 = 1102{,}50 \; \euro

Endwert / Endkapital[Bearbeiten]

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 % p.a. über 2 Jahre angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von

K_2 = K_0 \cdot (q)^n = 1000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}05)^2 = 1102{,}50 \; \euro.

Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat, so gilt allgemein:

n = \frac{\log{2}}{\log{(1 + i)}} = \frac{\log{2}}{\log{q}}

Dieser Wert lässt sich auch durch die 72er-Regel abschätzen.

Unterjährige Verzinsung[Bearbeiten]

Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr. Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:

  • einem halben Jahr,
  • einem Quartal oder
  • einem Monat oder
  • tageweise bei Restmonaten.

Die Anzahl der Zinsperioden im Jahr wird in Formeln durch das Symbol m ausgedrückt. Bei quartalsweiser Verzinsung wäre m zum Beispiel 4 (4 Quartale pro Jahr). Oftmals wird ein sogenannter nomineller Jahreszinssatz (inom) angegeben.

Der relative Periodenzinssatz irel beträgt dann:

i_{\mathrm{rel}} = \frac{i_{\mathrm{nom}}}{m}.

Die Formeln der unterjährigen Verzinsung sind dann wie oben beschrieben zu verwenden, der Zinssatz gilt lediglich nicht mehr pro Jahr, sondern pro Zinsperiode. Die Laufzeit wird ebenfalls nicht in Jahren, sondern in Zinsperioden angegeben.

Einfache Zinsen[Bearbeiten]

Für das Endkapital Kn,k nach n Jahren und k Perioden gilt:

K_{\mathrm{n,k}} = K_0 \cdot (1 + [n \cdot m + k]\cdot i_{\mathrm{rel}}).

Dabei stellt n \cdot m + k die Gesamtzahl von Zinsperioden nach n Jahren und k Perioden dar (Laufzeit in Zinsperioden).

Beispiel[Bearbeiten]

Ein Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung (m = 12) zu einem nominellen Jahreszinssatz von 6 Prozent angelegt.

Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5 %. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von

K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \; \euro \cdot (1 + [2 \cdot 12 + 4]\cdot 0{,}005) = 1000 \; \euro \cdot 1{,}140 = 1140 \; \euro

Zinseszinsen[Bearbeiten]

Für das Endkapital Kn,k nach n Jahren und k Perioden gilt:

K_{\mathrm{n,k}} = K_0 \cdot (1 + i_{\mathrm{rel}})^{n \cdot m + k}.

Die Laufzeit berechnet sich also analog zur einfachen Zinsrechnung mit n = n \cdot m + k.

Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Zinssatz ieff bestimmen. Eine jährliche Verzinsung zum Effektivzinssatz führt dabei zum gleichen Ergebnis wie eine unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Es gilt:

i_{\mathrm{eff}} = \left( 1 + \frac{i_{\mathrm{nom}}}{m} \right)^m - 1.

Multipliziert man die Klammer aus und lässt die höheren Potenzen von inom (die für kleine inom fast gar nichts zu der Summe beitragen) weg, kann man den Effektivzins gut abschätzen:

i_{\mathrm{eff}} \approx i_{\mathrm{nom}} + \frac{\binom{m}{2}}{m^2} \cdot i_{\mathrm{nom}}^2
= i_{\mathrm{nom}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{m-1}{m} \cdot i_{\mathrm{nom}}^2
.

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer unterjährigen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung kann abgeschätzt werden mit:

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} \approx \frac{m-1}{2m} i_{\mathrm{nom}}^2 \approx 0{,}5 i_{\mathrm{nom}}^2.

Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative Periodenzinssatz (in diesem Fall auch konformer Zinssatz ikon genannt) aus folgender Formel:

i_{\mathrm{rel}} = i_{\mathrm{kon}} = \sqrt[m]{1 + i_{\mathrm{eff}}} - 1.

Manche Lehrbücher (z. B.: Fischer: Finanzwirtschaft für Anfänger, Oldenbourg) definieren den konformen Jahreszinssatz als ganzjährigen Zinssatz bei unterjähriger Zinseszinsrechnung.

Beispiel 1[Bearbeiten]

Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt (m = 12; inom = 6 %, irel = 0,06 / 12 = 0,005).

Nach 2 Jahren und 4 Monaten beträgt das Kapital mit Zinseszinsen

K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}005)^{2 \cdot 12 + 4} \approx 1149{,}87 \; \euro

Der effektive Zinssatz ist 6,1678 %:

i_{\mathrm{eff}} = \left( 1 + \frac{0{,}06}{12} \right)^{12} - 1 \approx 0{,}061678

Mit dem effektiven Zinssatz gerechnet

K_{\mathrm{2,4}} = 1000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}061678)^{\frac{28}{12}} \approx 1149{,}87 \; \euro

Beispiel 2[Bearbeiten]

Ein Kapital von 10.000 € wird angelegt zu inom = 3 % jährlich.

Bei einer jährlichen Verzinsung (m = 1) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

K_1 = 10000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}03/1)^1 = 10300{,}00 \; \euro

der Effektivzins ist ieff = inom = 3,00 %.

Bei einer unterjährigen quartalsweisen Verzinsung (m = 4) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

K_{\mathrm{1,0}} = 10000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}03/4)^4 \approx 10303{,}39 \; \euro

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer quartalsweisen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} = \left( 1 + \frac{0{,}03}{4} \right)^4 - 1 - 0{,}03 \approx 0{,}03392%.

und kann abgeschätzt werden mit:

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} \approx \frac{4-1}{2\cdot4} \cdot 0{,}03^2 = 0{,}03375%.

Bei einer unterjährigen monatlichen Verzinsung (m = 12) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

K_{\mathrm{1,0}} = 10000 \; \euro \cdot (1 + 0{,}03/12)^{12} \approx 10304{,}16 \; \euro

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer monatlichen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} = \left( 1 + \frac{0{,}03}{12} \right)^{12} - 1 - 0{,}03 \approx 0{,}04160%.

und kann abgeschätzt werden mit:

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} \approx \frac{12-1}{2\cdot12} \cdot 0{,}03^2 = 0{,}04125%.


Bei einer unterjährigen stetigen Verzinsung (m = ∞, siehe weiter unten) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

K_{1} = 10000  \; \euro\cdot e^{1\cdot0{,}03} \approx 10304{,}55 \; \euro

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer stetigen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} = e^{1\cdot0{,}03} - 1 - 0{,}03 \approx 0{,}04545%.

und kann abgeschätzt werden mit:

i_{\mathrm{eff}} - i_{\mathrm{nom}} \approx \frac{1}{2} \cdot 0{,}03^2 = 0{,}04500%.

Eine Geldanlage mit einer jährlichen einmaligen Verzinsung von 3,05 % ergibt also einen höheren Zinsertrag als eine Geldanlage mit einem nominalen Zinssatz von 3,00 % und einer (beliebigen) unterjährigen Verzinsung. Viele Geldinstitute werben mit dem höheren Zinsertrag bei einer unterjährigen quartalsweisen Verzinsung, ohne den höheren Zinsertrag genau zu beziffern. An dem obigen Beispiel ist leicht zu erkennen, dass die unterjährige quartalsweise Verzinsung nur einen minimalen zusätzlichen Zinsertrag liefert: 3,39 € bei einer Anlage von 10.000 €.

Gemischte Verzinsung[Bearbeiten]

Üblicherweise schreiben Banken und andere Finanzunternehmen auf laufenden Konten und Sparbüchern die Zinsen am Ende der Zinsperiode gut. Bei Sparbüchern und anderen laufenden Konten ist dies meist das Ende des Jahres, bei vertraglich festgelegten Anlagen oft ein anderer Zeitpunkt.

Obwohl eigentlich nach Zinseszinsrechnung verfahren wird, wird Kapital, das nicht am letzten Zinsverrechnungszeitpunkt und damit auch nicht die gesamte Zinsperiode über angelegt war, mit einfachen Zinsen verzinst, ebenso wie an einem Auszahlungstag innerhalb der Zinsperiode die bis dahin im Jahr angefallenen.

Die folgende Grafik stellt eine übliche Anlage dar: die Anlage fällt auf einen beliebigen Tag des Jahres, das Kapital wird einige Jahre verzinst und schließlich an einem beliebigen Tag innerhalb des Jahres wieder ausgezahlt.

Gemischte Verzinsung.png

Der gesamte Anlagezeitraum setzt sich wie folgt zusammen:

Restzeitraum 1 + n Jahre + Restzeitraum 2.

Zunächst wird das Kapital über den Restzeitraum 1 (t1 Tage) mit einfachen Zinsen verzinst. Das so erhaltene Kapital verzinst sich über die n Jahre nach der Zinseszins-Formel. Der Restzeitraum 2 (t2 Tage) wird dann wieder vom Kapital am Ende des n-ten Jahres einfach verzinst. Zusammengefasst ergibt sich folgende Formel für das Kapital am Auszahlungstag:

K = K_0 \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_1}{360} \right) \cdot (1+i)^n \cdot \left( 1 + i \cdot \frac{t_2}{360} \right)
Nach der Deutschen Zinsberechnungsmethode werden für das Jahr 360 Tage angesetzt (siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel Zinssatz).

Bei gebrochenen Anlagelaufzeiten ist die Wertstellungspraxis der Banken zu beachten: Bei Sparguthaben wird in Deutschland üblicherweise der Anlagetag mitgerechnet, der Tag der Auszahlung wird aber nicht mehr verzinst. Ansonsten – z. B. bei Sicht- und Termineinlagen – wird umgekehrt zwar der Auszahlungstag, nicht aber der Einzahlungstag verzinst.

Bei unterjähriger Verzinsung geht man analog vor und verändert entsprechend den Bezugszeitraum (z. B. n in Quartalen, 90 statt 360 im Nenner).

Beispiel[Bearbeiten]

Am 25. Juni 2008 werden 1.000 € zu einem Zinssatz von 2,5 % auf einem Sparbuch angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag bei Auflösung des Sparbuches am 12. April 2013?

Bis zum Ende des Jahres 2008 vergehen nach Deutscher Zinsberechnungsmethode t_1 = 6 \cdot 30 + 6 = 186 Tage. Das Kapital liegt die gesamten Jahre 2009–2012 fest (n = 4). Im Jahr 2013 werden noch für t_2 = 3 \cdot 30 + 11 = 101 Tage Zinsen gezahlt.

Das Kapital am Auszahlungstag beträgt also

K = 1000 \; \euro \cdot \left( 1 + 0{,}025 \cdot \frac{186}{360} \right) \cdot (1+0{,}025)^4 \cdot \left( 1 + 0{,}025 \cdot \frac{101}{360} \right) = 1125{,}91 \; \euro

Die Berechnung einfacher Zinsen begünstigt den Anleger: falls Zinseszinsen über die gesamte Laufzeit berechnet würden, erhielte man im vorliegenden Fall

K = 1000 \; \euro \cdot 1{,}025^{4+\frac{287}{360}} \approx 1125{,}76 \; \euro.

Stetige Verzinsung[Bearbeiten]

Die stetige Verzinsung ist ein Sonderfall der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen, bei der die Anzahl der Zinsperioden gegen unendlich strebt (auch Momentanverzinsung oder kontinuierliche Verzinsung). Der Zeitraum der einzelnen Zinsperiode geht also gegen 0.

Für das Endkapital nach n Jahren gilt bei einem Zinssatz i:


  \begin{matrix}
    K &=& \lim_{m \to \infty} \left[ K_0 \cdot \left( 1 + \frac{i}{m} \right)^{mn} \right] \\\\
    &=& K_0 \cdot e^{n\cdot i}
  \end{matrix}

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei stetiger Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

K_2 = 1000 \; \euro \cdot e^{2 \cdot 0{,}05} = 1105{,}17 \; \euro

Einer der Vorteile der stetigen Verzinsung ist, dass man sich keine Gedanken über die Zinskapitalisierung machen muss, da quasi jederzeit kapitalisiert wird. Damit ist die stetige Verzinsung oft auch Grundlage von finanzmathematischen Modellen, da sich diese Verzinsungsart besonders einfach handhaben lässt. Ein bekanntes Beispiel dafür ist das Black-Scholes-Modell.

Weblinks[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]