Der Dunford-Funktionalkalkül von Nelson Dunford besagt, dass für gewisse Funktionen
und gewisse lineare Operatoren
der Ausdruck
wieder ein Operator ist. Grundlage für den Kalkül bildet der cauchysche Integralsatz. Die Idee geht auf Frigyes Riesz zurück. Dunford veröffentlichte 1943 im Bulletin of the American Mathematical Society den Kalkül für beschränkte lineare Operatoren und holomorphe Funktionen. Dies konnte später auf sektorielle Operatoren verallgemeinert werden.
Für einen beschränkten linearen Operator
auf einem komplexen Banachraum
bezeichne
die Menge aller Funktionen
, die auf einer Umgebung
des Spektrums
von
holomorph sind, wobei
aus endlich vielen rektifizierbaren Jordan-Kurven bestehen muss und von der Funktion abhängen kann. Da
beschränkt ist, ist das Spektrum kompakt, und der cauchysche Integralsatz liefert die Existenz des Dunford-Integrals
,
wobei
die Resolvente von
in
bezeichnet. Das Integral ist unabhängig von der Wahl von
, solange die genannten Voraussetzungen erfüllt sind.
Wie Luigi Fantappié bereits 1928 für endliche Matrizen gezeigt hat, gilt für
und
für
:
![{\displaystyle af(A)+bf(A)=(af+bg)(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377a1ba776dfd78fda1fae6741ef89f9a20ac63d)
![{\displaystyle f(A)\cdot g(A)=(f\cdot g)(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5170660b9ffc8ddea3de5d0e27685f24af946b)
- Gilt
für alle
, so konvergiert die Summe über
in der Operatornorm und es gilt
.
Außerdem gilt der Spektralabbildungssatz
.
Im Falle von unbeschränkten Operatoren ergibt sich das Problem, dass das Spektrum unbeschränkt sein kann, und damit der cauchysche Integralsatz nicht mehr so einfach angewandt werden kann. Fordert man allerdings zusätzlich zur Holomorphie von
noch die Beschränktheit und einen Abfall von
für große
, kann mit Hilfe des Satzes von Lebesgue das Dunford-Integral analog zu oben definiert werden. Sei
ein sektorieller Operator mit Sektor
auf einem Banachraum
und
bezeichne alle holomorphen Funktionen
für
. Dann seien weiter
und
. Statt
wird über den Weg
für
integriert. Dann existiert das Dunford-Integral
![{\displaystyle f(A):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(\lambda )R(\lambda ,A)\mathrm {d} \lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59350496645237a72497631f6e4e5f252980c968)
für alle
und ist ein beschränkter linearer Operator.
Auch hier gilt ein Spektralabbildungssatz:
.