Jordan-Kurve

geschlossene Jordankurve

offene Jordankurve

Kurve, die keine offene Jordankurve ist

Jordan-Kurven (bzw. einfache Kurven) sind nach Camille Jordan benannte mathematische Kurven, die als eine homöomorphe Einbettung des Kreises S₁ oder des Intervalls I₁ = [0;1] in einen topologischen Raum definiert sind. (Die homöomorphe Einbettung von I₁ nennt man offene Jordan-Kurve. Die Einbettung von S₁ wird geschlossene Jordan-Kurve genannt.)

Anschaulich heißt das, dass es sich um Kurven handelt, die stetig und schnittpunktfrei sind und einen Anfangs- und einen Endpunkt besitzen. Der Begriff der Jordan-Kurve wird auch zur Definition planarer Graphen verwendet.

Beispiele

Der Einheitskreis mit der Parametrisierung

φ(t) = (cos(t),sin(t)), $t\in[0, 2\pi]$

ist eine geschlossene Jordankurve.

Der Weg

φ(t) = (cos(t),sin(t)) mit $t \in [0, 3\pi]$

liefert auch den Einheitskreis, ist aber in dieser Parametrisierung keine Jordankurve, da z. B.

φ(1) = φ(2π + 1).

Das Einheitsquadrat ist eine Jordankurve, die aber mit keiner Parametrisierung glatt ist.

Die Strecke

φ(t) = (t,0) mit $t \in [0, 1]$

ist eine (offene) Jordankurve.

Keine Parametrisierung der Ziffern 6 oder 8 in der Ebene ist eine Jordankurve.

Siehe auch:

• Jordanscher Kurvensatz

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 2. 7. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 338.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 5. durchgesehene Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 361.

Weblinks

• Jordan Curve in der Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Jordan Curve. In: MathWorld. (englisch)