Cauchyscher Integralsatz

Der cauchysche Integralsatz (nach Augustin Louis Cauchy) ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionentheorie. Er handelt von Kurvenintegralen für holomorphe (auf einer offenen Menge komplex-differenzierbare) Funktionen. Im Kern besagt er, dass zwei dieselben Punkte verbindende Wege das gleiche Wegintegral besitzen, falls die Funktion überall zwischen den zwei Wegen holomorph ist. Der Satz gewinnt seine Bedeutung unter anderem daraus, dass man ihn zum Beweis der cauchyschen Integralformel und des Residuensatzes benutzt.

Die erste Formulierung des Satzes stammt von 1814, als Cauchy ihn für rechteckige Gebiete bewies. Dies verallgemeinerte er in den nächsten Jahren, allerdings setzte er dabei den jordanschen Kurvensatz als selbstverständlich voraus. Moderne Beweise kommen durch das Lemma von Goursat ohne diese tiefgreifende Aussage aus der Topologie aus.

Der Satz

Der Integralsatz wurde in zahlreichen Versionen formuliert.

Cauchyscher Integralsatz für Elementargebiete

Sei $D\subseteq\mathbb{C}$ ein Elementargebiet, also ein Gebiet, auf dem jede holomorphe Funktion $f\colon D\to\mathbb{C}$ eine Stammfunktion besitzt. Sterngebiete sind beispielsweise Elementargebiete. Der cauchysche Integralsatz besagt nun, dass das Integral

$\oint_\gamma f = 0$

über jede geschlossene Kurve $\gamma \colon [0,1]\to D$ verschwindet.

Ist $D$ kein Elementargebiet, so ist die Aussage falsch. Zum Beispiel ist $f\colon z\mapsto\tfrac 1z$ auf dem Gebiet $\mathbb C\setminus\{0\}$ holomorph, dennoch verschwindet $\textstyle \oint_\gamma f$ nicht über jede geschlossene Kurve. Beispielsweise gilt

$\oint_{\partial U_r(0)}\frac{1}{z}\mathrm dz=2\pi\mathrm i\neq 0$

für die einfach durchlaufene Randkurve einer Kreisscheibe um $0$ mit positivem Radius $r$.

Cauchyscher Integralsatz (Homotopie-Version)

Ist $D\subseteq\mathbb C$ offen und sind $\alpha,\beta\colon[0,1]\to D$ zwei zueinander homotope Kurven in D, dann ist

$\int\limits_{\alpha }{f}=\int\limits_{\beta }{f}$

für jede holomorphe Funktion $f\colon D\to\mathbb C$.

Ist $D$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dann verschwindet das Integral nach der Homotopie-Version für jede geschlossene Kurve, d.h. $D$ ist ein Elementargebiet.

Bei erneuter Betrachtung obigen Beispiels bemerkt man, dass $\mathbb C\setminus\{0\}$ nicht einfach zusammenhängend ist.

Cauchyscher Integralsatz (Homologie-Version)

Ist $D\subseteq\mathbb C$ ein Gebiet und $\Gamma$ ein Zyklus in $D$, dann verschwindet

$\int\limits_\Gamma f$

für jede holomorphe Funktion $f\colon D\to\mathbb C$ genau dann, wenn $\Gamma$ nullhomolog in $D$ ist.

Isolierte Singularitäten

Windungszahl des Integrationsweges

Es sei $D\subseteq\mathbb C$ ein Gebiet, $a\in D$ ein innerer Punkt und $f\colon D\setminus\{a\}\to\mathbb{C}$ holomorph. Sei $U:=U_r(a)\setminus\{a\}\subset D$ eine punktierte Umgebung, auf der $f$ holomorph ist. Sei ferner $\gamma$ eine vollständig in $D$ verlaufende geschlossene Kurve, die $a$ genau einmal positiv orientiert umläuft, d.h. für die Windungszahl gilt $\operatorname{ind}_{\gamma}(a)=1$ (insbesondere liegt $a$ nicht auf $\gamma$). Mit dem Integralsatz gilt nun

$\oint_\gamma f=\oint_{\partial U} f.$

Durch Verallgemeinerung auf beliebige Windungszahlen von $\gamma$ erhält man

$\oint_\gamma f=\operatorname{ind}_{\gamma}(a) \oint_{\partial U}f.$

Mithilfe der Definition des Residuums ergibt sich sogar

$\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_\gamma f=\operatorname{ind}_{\gamma}(a)\operatorname{Res}_a f(z).$

Der Residuensatz ist eine Verallgemeinerung dieser Vorgehensweise auf mehrere isolierte Singularitäten und auf Zyklen.

Beispiel

Es wird im Folgenden das Integral $\oint_{\partial U(a)}\frac{1}{(z-a)^n}\mathrm{d}z$ mit $n\in\mathbb{Z}$ bestimmt. Wähle als Integrationsweg $\partial U(a)=\partial U_{r}(a)$ einen Kreis mit Radius $r$ um $a$, also

$z=\gamma(t)=a+re^{2\pi\mathrm{i}t}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{d}z=\frac{\partial\gamma}{\partial t}\mathrm{d}t=2\pi ire^{2\pi\mathrm{i}t}\mathrm{d}t$

Ergibt eingesetzt:

$\begin{align}\oint_{\partial U_{r}(a)}\frac{1}{(z-a)^{n}}\mathrm{d}z & =\int_{0}^{1}\frac{2\pi\mathrm{i}re^{2\pi\mathrm{i}t}}{r^{n}e^{2\pi n\mathrm{i}t}}\mathrm{d}t=2\pi\mathrm{i}r^{1-n}\int_{0}^{1}e^{2\pi\mathrm{i}t(1-n)}\mathrm{d}t=\begin{cases} 2\pi\mathrm{i}[t]_{0}^{1} & \mbox{für}\ n=1\\ \frac{r^{1-n}}{1-n}[e^{2\pi\mathrm{i}t(1-n)}]_{0}^{1} & \mbox{für}\ n\neq 1\end{cases}\\ & =\begin{cases} 2\pi\mathrm{i} & \mbox{für}\ n=1\\ 0 & \mbox{für}\ n\neq 1\end{cases}=2\pi\mathrm{i}\delta_{n,1}\end{align}$

Da man jede Funktion $f(z)$, die auf einem Kreisring um $a$ holomorph ist, in eine Laurent-Reihe entwickeln kann, $f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}$, ergibt sich bei der Integration um $a$:

$\oint_{\partial U(a)}f(z)\mathrm{d}z=\oint_{\partial U(a)}\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}(z-a)^{n}\mathrm{d}z=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}\oint_{\partial U(a)}(z-a)^{n}\mathrm{d}z$

Nun lässt sich obiges Ergebnis anwenden: $\oint_{\partial U_{r}(a)}(z-a)^{n}\mathrm{d}z=2\pi\mathrm{i}\delta_{n,-1}$

$\oint_{\partial U(a)}f(z)\mathrm{d}z=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}2\pi\mathrm{i}\delta_{n,-1}=2\pi\mathrm{i}\,c_{-1}=2\pi\mathrm{i}\,\text{Res}_{a}(f)$,

wobei der Entwicklungskoeffizient $c_{-1}$ Residuum genannt wurde.

Herleitung

Folgende Herleitung, die allerdings die stetige komplexe Differenzierbarkeit voraussetzt, führt das komplexe Integral auf reelle zweidimensionale Integrale zurück.

Sei $z=x+iy\in\mathbb{C}$ mit $x,y\in\mathbb{R}$ und $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)\in\mathbb{C}$ mit $u,v\in\mathbb{R}$. Dann gilt für das Integral entlang der Kurve $\gamma(z)$ in der komplexen Ebene, bzw. für das äquivalente Linienintegral entlang der Kurve

$C(x,y)=\begin{pmatrix}\Re(\gamma(z)\\ \Im(\gamma(z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\Re(\gamma(x,y))\\ \Im(\gamma(x,y))\end{pmatrix}$

in der reellen Ebene $\mathbb{R}^{2}$

$\begin{align} \underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\int}f(z)\, dz & =\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}f(x,y)\,(dx+idy)=\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}f(x,y)\\ if(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}\\ & =\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}u(x,y)\\ -v(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix}+i\underset{C\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}v(x,y)\\ u(x,y)\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}dx\\ dy\end{pmatrix} \end{align}$

Damit wurde das komplexe Kurvenintegral durch zwei reelle Kurvenintegrale ausgedrückt.

Für eine geschlossene Kurve $C=\partial S$, die ein einfach zusammenhängendes Gebiet S berandet, lässt sich der Satz von Gauß (hier wird die Stetigkeit der partiellen Ableitungen verwendet) anwenden

$\begin{align} \underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\oint}f(z)\, dz & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}u\\ -v\end{pmatrix}dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v\\ u\end{pmatrix}dxdy\\ & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}u-\partial_{y}v\right\} dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}v+\partial_{y}u\right\} dxdy \end{align}$

bzw. alternativ der Satz von Stokes

$\begin{align} \underset{\gamma\subset\mathbb{C}}{\oint}f(z)\, dz & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left[\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\\ 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}u\\ -v\\ 0\end{pmatrix}\right]_{3}dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left[\begin{pmatrix}\partial_{x}\\ \partial_{y}\\ 0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}v\\ u\\ 0\end{pmatrix}\right]_{3}dxdy\\ & =\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ -\partial_{x}v-\partial_{y}u\right\} dxdy+i\underset{S\subset\mathbb{R}^{2}}{\int}\left\{ \partial_{x}u-\partial_{y}v\right\} dxdy \end{align}$

Ist die Funktion $f(z)$ in S komplex differenzierbar, müssen dort die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

$\partial_{x}u=\partial_{y}v$   und   $\partial_{x}v=-\partial_{y}u$

gelten, sodass die obigen Integranden (egal ob in der Gauß- oder Stokes-Version) verschwinden:

$\underset{\gamma}{\oint}f(z)\, dz=0$

Somit ist der Cauchysche Integralsatz für holomorphe Funktionen auf einfach zusammenhängenden Gebieten bewiesen.

Cauchyscher Integralsatz mit Wirtinger-Kalkül und Satz von Stokes

Der Cauchysche Integralsatz ergibt sich als leichte Folgerung aus dem Satz von Stokes, wenn man den Wirtinger-Kalkül zum Einsatz bringt. Dabei wird zum Beweis des Integralsatzes die Berechnung des Wegintegrals als Integration für die komplexwertige Differentialform

$\omega = f(z) dz$

über die geschlossene Kurve $C$, die das einfach zusammenhängende und von $C=\partial S$ berandete Gebiet $S$ umläuft, gedeutet.

Der Wirtinger-Kalkül besagt nun, dass das Differential $df$ die Darstellung

$df = \frac {\partial f}{\partial z} dz + \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z}$

hat, woraus unmittelbar

$d{\omega} = df \wedge dz = { \frac {\partial f}{\partial z} dz } \wedge dz + { \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z} } \wedge dz$

folgt .

Nun ist zunächst grundsätzlich

$dz \wedge dz = 0$

Weiterhin bedeutet die vorausgesetzte Holomorphiebedingung für $f$ nach dem Wirtinger-Kalkül nichts weiter als

$\frac {\partial f}{\partial \bar {z}} = 0$  ,

was unmittelbar

${ \frac {\partial f}{\partial \bar {z}} {d\bar z} } \wedge dz = 0$

nach sich zieht .

Insgesamt ergibt sich also:

$d{\omega} = 0$

und damit schließlich mittels Satz von Stokes:

$\int_{C} f(z) dz = \int_{\partial S} \omega = \int_S \mathrm{d} \omega = \int_S \mathrm{0} = 0$

Möchte man zeigen, dass aus der komplexen Differenzierbarkeit (ohne a priori Annahme der Stetigkeit der Ableitungen) bereits der cauchysche Integralsatz (und damit a posteriori die Existenz aller höheren Ableitungen) folgt, so muss man das Integrallemma von Goursat verwenden. Dies hat auch den didaktischen Vorteil, dass der Satz von Gauß (bzw. Stokes) nicht benötigt wird.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 143, Satz 4.7.3
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 57, Kapitel 3, Satz 1.4 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).
• Günter Bärwolff: Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. 2. Auflage, 1. korrigierter Nachdruck. Spektrum Akademischer Verlag, München u. a. 2009, ISBN 978-3-8274-1688-9.
•  Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6.