Bifurkation (Mathematik)
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Eine Bifurkation oder Verzweigung ist eine qualitative Zustandsänderung in nichtlinearen Systemen unter Einfluss eines Parameters μ. Der Begriff der Bifurkation wurde von Henri Poincaré eingeführt.
Nichtlineare Systeme, deren Verhalten von einem Parameter abhängt, können bei einer Änderung des Parameters ihr Verhalten plötzlich ändern. Zum Beispiel kann ein System, das zuvor einem Grenzwert zustrebte, nun zwischen zwei Werten hin und her springen, also zwei Häufungspunkte aufweisen. Dies nennt man eine Bifurkation. Bestimmte Systeme können unter finiter Änderung des Parameter μ unendlich viele Bifurkationen erfahren, und damit eine unendliche Menge an Grenzwerten aufweisen. Das Verhalten solcher Systeme wandelt sich unter Änderung des Parameters μ somit zu deterministisch chaotischem Verhalten. Ein Beispiel hierfür ist die logistische Abbildung.
Bifurkationen lassen sich in Bifurkationsdiagrammen graphisch darstellen.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition einer Bifurkation
Eine Bifurkation eines dynamischen Systems ist eine Änderung der Anzahl an (stabilen und instabilen) Grenzwerten (Gleichgewichtszuständen) unter dem Einfluss eines Parameters μ.
[Bearbeiten] Beispiel
Ein typisches Beispiel einer Bifurkation ist das Knicken eines Stabes unter Druckspannung.
Man stelle sich einen im Boden eingespannten senkrecht stehenden masselosen Stab mit einem Gewicht μ an der Spitze vor. Die Winkelabweichung des Stabes aus der Senkrechten entspricht dabei der Variablen x.
Ist das Gewicht genügend klein, so ist x = 0 eine stabile Gleichgewichtslage des Systems, d.h. für kleine Abweichungen richtet sich der Stab selbständig wieder in die Senkrechte (x = 0) aus. Wird das Gewicht μ kontinuierlich gesteigert, so wird bei einem bestimmten Gewicht (der Knickspannung) die senkrechte Gleichgewichtslage instabil. Gleichzeitig entstehen (für ein ebenes System) zwei neue (stabile) Gleichgewichtslagen. (Indem der Stab nach links oder rechts abknickt.) Der Übergang des Systems von einer (stabilen) zu drei (zwei stabile eine instabile) Gleichgewichtslagen ist die Bifurkation, die in diesem Fall eine Pitchfork-Bifurkation ist.
(Siehe auch: Elastische Theorie)
[Bearbeiten] Typen von Bifurkationen
[Bearbeiten] Literatur und Quellen
Hassan K. Khalil, Nonlinear Systems, Third Edition, Prentice Hall, 2002, ISBN 0-13-067389-7
Leine, R.I. & Nijmeijer, H. Dynamics and Bifurcations in Non-Smooth Mechanical Systems,Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics Vol. 18, Berlin Heidelberg New-York, Springer-Verlag, 2004, ISBN 3-540-21987-0
Strogatz, Steven H., Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Perseus Books Group, ISBN 0-738-20453-6
[Bearbeiten] Weblinks
- http://www.bifurcation.de (englisch)
- Bifurcations and Two Dimensional Flows by Elmer G. Wiens (englisch)
[Bearbeiten] Siehe auch
Komplexe Systeme, Chaostheorie, Fraktale Geometrie, logistische Abbildung, Mandelbrot-Menge
