Chapman-Kolmogorow-Gleichung

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Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Gleichung für die Übergangswahrscheinlichkeiten bei Markow-Ketten oder allgemeiner bei Markow-Prozessen. Die differentielle Schreibweise der Chapman-Kolmogorow-Gleichung ist als Mastergleichung bekannt.

Markow-Ketten[Bearbeiten]

Die Chapman-Kolmogorow-Gleichung für Markow-Ketten stellt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreffen des Zustandes y nach m + n Schritten, beginnend im Zustand x, als Summe möglicher Wege mit Zwischenstation z dar. Formal bedeutet dies:[1]

Sei (X_{k})_{k\in \N_0} eine Markow-Kette mit Übergangsmatrix \Pi und Zustandsraum \Epsilon.

Dann gilt für alle x,y \in \Epsilon

P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) = \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x).

Der Beweis der Gleichung wird in der Regel wie folgt geführt:

Unter Anwendung der Definition der Matrizenmultiplikation auf die Übergangsmatrix \Pi = (\Pi(x,y))_{x,y \in \Epsilon} ergibt sich


\begin{align}
P(X_{m+n}=y \mid X_0=x) & {\overset{(*)}{=}} \Pi^{n+m}(x,y) \\
&{=} \sum_{z\in\Epsilon} \Pi^m(x,z) \Pi^n(z,y) \\
&{\overset{(*)}{=}} \sum_{z\in\Epsilon} P(X_{m+n}=y \mid X_m=z) P(X_m=z \mid X_0=x)\,,
\end{align}

wobei bei (\ast) ausgenutzt wurde, dass P(X_{m+n}=y \mid X_n=x) = \Pi^{m}(x,y)\, für alle m,n\in\N_0,x,y\in\mathrm{E}\, mit P(X_n=x)>0\, gilt.

Markow-Prozesse[Bearbeiten]

Für einen allgemeinen Markow-Prozess mit der Halbgruppe (K(t))_{t\geq 0} von Übergangskernen lässt sich die Chapman-Kolmogorow-Gleichung auch kurz schreiben als[2]

\forall\, s,t\in\R_{\geq0}:\quad K(s+t) = K(s)K(t)\,,

wobei K(s)K(t) die Komposition von Kernen bezeichnet. Induktiv lässt sich daraus herleiten, dass

\forall\, n \in\N,t_1,\ldots, t_n\in\R_{\geq0}\quad K\left(\sum_{i=1}^n t_i\right) = \prod_{i=1}^n K(t_i)\,.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 354.
  2. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, S. 291.