Mastergleichung

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Eine Mastergleichung ist eine phänomenologisch begründete Differentialgleichung erster Ordnung, die die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeiten eines Systems beschreibt.

Beschreibung[Bearbeiten]

Für Zustände aus einer diskreten Menge von Zuständen ist die Mastergleichung:

 \frac{\mathrm{d}P_k}{\mathrm{d}t}=\sum_\ell(T_{k\ell}P_\ell - T_{\ell k}P_k).

wobei P_k die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich das System im Zustand k befindet, und T_{k \ell} die als konstant angenommene Übergangswahrscheinlichkeit vom Zustand l zum Zustand k ist. Analog lässt sich die Mastergleichung für kontinuierliche Zustände (und entsprechenden Wahrscheinlichkeitsdichten) formulieren, nur mit einer Integration statt einer Summation wie bei diskreten Zuständen.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie gilt dies als ein kontinuierlicher Markow-Prozess, bei dem die integrierte Mastergleichung der Chapman-Kolmogorow-Gleichung entspricht[1].

Ist die Matrix T_{\ell k} symmetrisch (d. h. alle mikroskopischen Übergänge sind reversibel und die Übergangswahrscheinlichkeiten in beide Richtungen gleich), so gilt:

T_{k\ell} = T_{\ell k},

und damit:

 \frac{\mathrm{d}P_k}{\mathrm{d}t}=\sum_\ell T_{k\ell} (P_\ell - P_k).

Die Mastergleichung (eine Integro-Differentialgleichung) kann als Partielle Differentialgleichung unendlicher Ordnung ausgedrückt werden: man spricht dann von der Kramers-Moyal-Entwicklung[2].

Anwendung[Bearbeiten]

Die Mastergleichung in der obigen Form wurde in der Quantenstatistik zuerst von Wolfgang Pauli abgeleitet und heißt deshalb auch Pauli-Mastergleichung. Sie ist eine Differentialgleichung für die Zustandswahrscheinlichkeiten, also die Diagonalelemente der Dichtematrix. Es gibt auch Verallgemeinerungen, die die Nichtdiagonalelemente einbeziehen (Mastergleichung in Lindblad-Form).[3] Eine weitere Verallgemeinerung ist die Nakajima-Zwanzig-Gleichung im Mori-Zwanzig Formalismus.

Allgemeiner nennt man in der statistischen Mechanik Mastergleichungen grundlegende Gleichungen (häufig in der obigen Form einer Bilanzgleichung) für die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, aus denen sich dann durch Näherungen und Grenzübergänge einfacher zu lösende Gleichungen ableiten lassen, wie beispielsweise Differentialgleichungen vom Typ der Fokker-Planck-Gleichung (die auch die Diffusionsgleichung umfasst) im Kontinuumslimes. Hinter diesen Näherungen steckt aber noch die mikroskopisch gültige Master-Gleichung, daher der Name.

Literatur[Bearbeiten]

  • Hartmut Haug: Statistische Physik - Gleichgewichtstheorie und Kinetik. 2. Auflage. Springer 2006, ISBN 3-540-25629-6.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Van Kampen Stochastic problems in physics and chemistry, North Holland, Kapitel V, Master Equation
  2. Stochastic Processes: From Physics to Finance, Paul, Baschnagel, S. 47
  3. z. B. A. J. Fisher Lectures on open quantum systems 2004