Chern-Simons-Form

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Dieser Artikel behandelt Chern-Simons-Formen in beliebigen Dimensionen, für den 3-dimensionalen Fall siehe Chern-Simons-Funktional.

Die Chern–Simons-Formen sind bei der Definition von sekundären charakteristischen Klassen verwendete Differentialformen, die in der Mathematik in Differentialgeometrie und Differentialtopologie in verschiedenen Zusammenhängen vorkommen, insbesondere in Eichtheorien. Die Chern-Simons-3-Form definiert das Wirkungsfunktional der Chern–Simons-Theorie. Sie sind benannt nach Shiing-Shen Chern und James Harris Simons, den Autoren der 1974 veröffentlichten Arbeit Characteristic Forms and Geometric Invariants.

Definition[Bearbeiten]

Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Der Riemannsche Zusammenhang

A\in \Omega^1(P(M),\mathfrak gl(n))

ist eine Lie-Algebra-wertige 1-Form auf dem Rahmenbündel P(M).

Die Chern–Simons-1-Form wird definiert durch

{\rm Tr} [ \bold{A} ],

wobei Tr die Spur von Matrizen bezeichnet.

Die Chern–Simons-3-Form wird definiert durch

{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{3}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\right].

Die Chern–Simons-5-Form wird definiert durch

{\rm Tr} \left[ \bold{F}\wedge\bold{F}\wedge\bold{A}-\frac{1}{2}\bold{F}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} +\frac{1}{10}\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A}\wedge\bold{A} \right]

wobei die Krümmung \bold{F} definiert ist durch

\bold{F} = d\bold{A}+\bold{A}\wedge\bold{A}.

Die allgemeine Chern–Simons-Form \omega_{2k-1} ist definiert, so dass

d\omega_{2k-1}={\rm Tr}  \left( \bold{F}^{k} \right),

wobei \bold{F}^k durch das äußere Produkt von Differentialformen definiert wird.

Falls M eine parallelisierbare 2k-1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist (zum Beispiele eine orientierbare 3-Mannigfaltigkeit), dann gibt es einen Schnitt s:M\rightarrow P(M) und das Integral von s^*\omega_{2k-1} über die Mannigfaltigkeit M ist eine globale Invariante, die modulo der Addition ganzer Zahlen wohldefiniert ist. (Für verschiedene Schnitte unterscheiden sich die Integrale nur um ganze Zahlen.) Die so definierte Invariante ist die Chern-Simons-Invariante

cs(M)\in \mathbb R/\mathbb Z.

Allgemeine Definition für Prinzipalbündel und invariante Polynome[Bearbeiten]

Sei G eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra \mathfrak g und f\in I^k(\mathfrak g) ein invariantes Polynom.

Jedem invarianten Polynom f entspricht eine Chern-Simons-Form von G-Prinzipalbündeln wie folgt.

Sei \pi:P\rightarrow M ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe G. Man wähle eine Zusammenhangsform \omega\in \Omega^1(P,\mathfrak g) und bezeichne mit \Omega\in\Omega^2(P,\mathfrak g) ihre Krümmungsform. Dann ist die Chern-Simons-Form Tf\in\Omega^{2k}(P,\mathfrak g) definiert durch

Tf=\sum_{i=0}^{k-1}A_if(\omega\wedge \left[\omega,\omega\right]^i\wedge\Omega^{k-i-1})

mit A_i:=(-1)^i\frac{k!(k-1)!}{2^i(k+i)!(k-1-i)!}.

Im Fall flacher Bündel vereinfacht sich diese Formel zu (-1)^{k-1}\frac{k!(k-1)!}{2^{k-1}(2k-1)!}f(\omega\wedge\left[\omega,\omega\right]^{k-1}).

Es gilt die Gleichung

dTf=f(\Omega, \ldots ,\Omega) ,

im Fall flacher Bündel also dTf=0.

Bekanntlich entspricht jede charakteristische Klasse  u\in H^*(BG,\mathbb Z) einem Invarianten Polynom, siehe Chern-Weil-Theorie. Falls f(\Omega,\ldots,\Omega)=0, dann verschwindet nach Chern-Weil-Theorie die entsprechende charakteristische Klasse u_f in reeller Kohomologie. Die Form Tf ist in diesem Fall geschlossen und definiert zunächst eine Klasse in der Kohomologie von P. Zurückziehen mittels eines Schnittes definiert eine Kohomologieklasse von M, welche modulo ganzer Zahlen wohldefiniert ist. Die so definierte Kohomologieklasse in H^*(M,\mathbb R/\mathbb Z) passt in die Bockstein-Folge

H^{2k-1}(M,\mathbb R/\mathbb Z)\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb Z)\rightarrow H^{2k}(M,\mathbb R),

wo sie auf die charakteristische Klasse u_f abgebildet wird, deren Bild in reeller Kohomologie verschwindet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  • Chern, S.-S.; Simons, J.: Characteristic forms and geometric invariants. The Annals of Mathematics, Second Series 99, 1974, S. 48–69.