Chern-Simons-Funktional

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Das Chern-Simons-Funktional ist in Differentialgeometrie, Topologie und mathematischer Physik von Bedeutung. In der Mathematik wird es zur Definition der Chern-Simons-Invariante von Zusammenhängen auf Prinzipalbündeln über 3-Mannigfaltigkeiten verwendet. Ursprünglich von Chern und Simons in der Theorie der sekundären charakteristischen Klassen eingeführt, hatte es mindestens zwei unerwartete Anwendungen, nämlich zum einen Wittens Einordnung in die Quantenfeldtheorie mit einer physikalisch-geometrischen Interpretation des Jones-Polynoms[1][2] und zum anderen die Interpretation der Chern-Simons-Invariante flacher Bündel als komplexwertige Version des hyperbolischen Volumens.

Definition[Bearbeiten]

Sei G eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe und M eine 3-dimensionale, geschlossene, orientierbare Mannigfaltigkeit. Unter diesen Voraussetzungen ist jedes G-Prinzipalbündel \pi:E\rightarrow M trivialisierbar, hat also einen Schnitt s:M\rightarrow E.

Für einen Zusammenhang

\omega\in\Omega^1(E,\mathfrak{g})

wird sein Chern-Simons-Wirkungsfunktional definiert durch

CS(\omega,s)=\frac{1}{4\pi}\int_M Tr(s^*(\omega\wedge d\omega+\frac{2}{3}\omega\wedge\omega\wedge\omega)).

Diese Definition hängt a priori von der Wahl eines Schnittes s:M\rightarrow E ab, für eine Eichtransformation

g\in{\mathcal{G}}=C^\infty(M,G)

gilt aber

CS(\omega,gs)-CS(\omega,s)=-\frac{1}{6}\int_M g^*\omega_{MC}\wedge\left[\omega_{MC},\omega_{MC}\right]\in \Z,

wobei \omega_{MC} die Maurer-Cartan-Form ist.

Man erhält also einen modulo \Z wohldefinierten Wert

CS(\omega)\in\C/\Z.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Sei M eine geschlossene, orientierbare 3-Mannigfaltigkeit und \pi_1G=0. Wir bezeichnen mit {\mathcal{C}}_M die (unendlich-dimensionale) Mannigfaltigkeit aller Zusammenhänge auf G-Prinzipalbündeln über M.

Dann ist CS:{\mathcal{C}}_M\rightarrow \C/\Z glatt und hat die folgenden Eigenschaften:

  • (Funktorialität)
Wenn \phi:P_1\rightarrow P_2 eine Bündelabbildung über einem orientierungs-erhaltenden Diffeomorphismus \psi:M_1\rightarrow M_2 ist, dann gilt
CS(\phi^*\omega)=CS(\omega)
für jeden Zusammenhang \omega.
  • (Additivität)
Wenn M=M_1\cup M_2 eine disjunkte Vereinigung ist, und \omega ein Zusammenhang auf M, dann gilt
CS(\omega)=CS(\omega\mid_{M_1})+CS(\omega\mid_{M_2}).
  • (Erweiterung der Strukturgruppe)
Wenn G_1\rightarrow G_2 eine Inklusion einfach zusammenhängender, kompakter Lie-Gruppen, \omega_1 ein Zusammenhang auf einem G_1-Bündel E_1\rightarrow M und \omega_2 die Erweiterung von \omega_1 auf ein G_2-Bündel E_2\rightarrow M ist, dann gilt
CS(\omega_1)=CS(\omega_2).

Flache Zusammenhänge[Bearbeiten]

Es gilt

\frac{\delta CS}{\delta\omega}=\frac{1}{2\pi}\Omega,

wobei \Omega die Krümmungsform des Zusammenhangs \omega bezeichnet. Die kritischen Punkte des Chern-Simons-Funktionals sind also gerade die flachen Zusammenhänge. Insbesondere ist das Chern-Simons-Funktional konstant auf den Zusammenhangskomponenten des Modulraums flacher Zusammenhänge auf M\times G.

Satz von Yoshida[Bearbeiten]

Es sei M eine geschlossene, orientierbare hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit und \rho:\pi_1M\rightarrow PSL(2,\C) ihre Holonomiedarstellung. Dann gilt für das assoziierte flache Bündel E_\rho

CS(E_\rho)=cs(M)+\frac{i}{2\pi^2}vol(M)\in\C/\Z,

wobei cs(M) die Riemannsche Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs bezeichnet.[3]

Das Bild der Fundamentalklasse unter der Darstellung \rho definiert eine Homologieklasse

(B\rho)_*\left[M\right]\in H_3(PSL(2,\C)^\delta;\Z)\simeq \hat{B}(\C)

in der erweiterten Bloch-Gruppe und der Rogers-Dilogarithmus

R:\hat{B}(\C)\rightarrow \C/2\pi^2\Z

bildet (B\rho)_*\left[M\right] auf CS(E_\rho) ab. Das liefert eine explizite Formel für die Chern-Simons-Invariante und einen alternativen Beweis des Satzes von Yoshida.[4][5][6]

Algorithmus für flache Bündel[Bearbeiten]

Es sei E_\rho ein flaches Bündel über einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit M mit Holonomie \rho:\pi_1M\rightarrow SL(n,\C). Dann bildet der Rogers-Dilogarithmus \lambda((B\rho)_*\left[M\right]) auf CS(E_\rho) ab, wobei \lambda:H_3(SL(n,\C);\Z)\rightarrow\hat{B}(\C) den kanonischen Homomorphismus bezeichnet.[7] Der Wert von CS(E_\rho) kann aus den ptolemäischen Koordinaten der Darstellung \rho zu einer Triangulierung von M berechnet werden. (Dieser Ansatz funktioniert auch für 3-Mannigfaltigkeiten mit Rand \partial M, solange die Einschränkung von \rho auf die Fundamentalgruppen des Randes unipotent ist.) Implementiert ist dieser Algorithmus im Ptolemy Module als Teil der Software SnapPy.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Hauptartikel: Chern-Simons-Form

In beliebigen Dimensionen kann man Chern-Simons-Formen zur Definition sekundärer charakteristischer Klassen verwenden.

Literatur[Bearbeiten]

  • Freed, Daniel S.: Classical Chern-Simons theory. I.: Adv. Math. 113, no. 2, 237–303 (1995). pdf II.: Houston J. Math. 28, no.2, 293-310 (2002). pdf

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Witten, Edward: Quantum field theory and the Jones polynomial. Commun. Math. Phys. 121, No.3, 351-399 (1989).pdf
  2. Bar-Natan, Dror: Perturbative Chern-Simons theory. J. Knot Theory Ramifications 4 (1995), no. 4, 503–547. pdf
  3. Yoshida, Tomoyoshi: The η-invariant of hyperbolic 3-manifolds. Invent. Math. 81, 473-514 (1985). pdf
  4. Neumann, Walter D.: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413-474 (2004). pdf
  5. Goette, Sebastian; Zickert, Christian K.: The extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 11, 1623-1635 (2007). pdf
  6. Marché, Julien: Geometric interpretation of simplicial formulas for the Chern-Simons invariant. Algebr. Geom. Topol. 12, No. 2, 805-827 (2012). pdf
  7. S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. pdf