Invariantes Polynom

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom P auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe G auf dem Vektorraum V invariant ist, also

P (gx)=P(x)

für alle g\in G, x\in V erfüllt.

Invariante Polynome in der Linearen Algebra[Bearbeiten]

Sei \mathbb K ein Körper und V=Mat(n,\mathbb K) der Vektorraum aller n\times n-Matrizen über \mathbb K. Die allgemeine lineare Gruppe GL(n,\mathbb K) wirkt auf V durch Konjugation:

gx:=gxg^{-1} für g\in GL(n,\mathbb K), x\in Mat(n,\mathbb K).

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen P:Mat(n,\mathbb K)\rightarrow\mathbb K mit P(gxg^{-1})=P(x) für alle g\in GL(n,\mathbb K), x\in Mat(n,\mathbb K).

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable t) die Entwicklung

det(tA+I)=\sum_{k=0}^n c_k(A)t^k

betrachten und erhält invariante Polynome c_0,\ldots,c_n. (c_1 ist die Spur und c_n die Determinante. Falls \mathbb K algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein c_k das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von A.)

Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen[Bearbeiten]

Sei G eine Lie-Gruppe und \mathfrak g ihre ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf \mathfrak g ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von \mathfrak g, siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe G wirkt auf sich selbst durch Konjugation: c_g(h):=ghg^{-1} für alle h\in G. Das Differential von c_g ist eine lineare Abbildung

Ad(g):=D(c_g)_e:\mathfrak g\rightarrow \mathfrak g,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe G auf dem Vektorraum \mathfrak g.

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf \mathfrak g, welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

P(Ad(g)X_1,\ldots,Ad(g)X_k)=P(X_1,\ldots,X_k) für alle g\in G,X_1,\ldots,X_k\in\mathfrak g

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit I^*(\mathfrak g) bezeichnet.

Beispiel GL(n,\mathbb R)[Bearbeiten]

In diesem Fall ist \mathfrak g=Mat(n,\mathbb R) und Ad(g)(A)=gAg^{-1} für g\in GL(n,\mathbb R), A\in Mat(n,\mathbb R). Für k\in\mathbb N sei P_{\frac{k}{2}} das homogene Polynom vom Grad k, dessen Wert auf (A,\ldots,A) man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

det(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A)=\sum_kP_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}

erhält, für alle A\in Mat(n,\mathbb R). (Die Werte für die (A,\ldots,A) legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom P_{\frac{k}{2}} heißt das \frac{k}{2}-te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P_{\frac{k}{2}}\in I^k(\mathfrak gl(n,\mathbb R)) erzeugt.

Beispiel G=O(n)[Bearbeiten]

Für A\in\mathfrak o(n) gilt A=-A^T, woraus zunächst det(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi}A)=det(\lambda \mathbb I +\frac{1}{2\pi}A) und damit dann P_{\frac{k}{2}}=0 für alle ungeraden k folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P_k\in I^{2k}(\mathfrak o(n)) erzeugt.

Beispiel G=SO(n)[Bearbeiten]

Falls n=2m gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für A=(a_{ij}) mit a_{ij}=-a_{ji} definiert ist durch

Pf(A,\ldots,A)=\frac{1}{2^{2m}\pi^mm!}\sum_{\sigma\in S_{2m}} sign(\sigma)a_{\sigma(1)\sigma(2)}\ldots a_{\sigma(2m-1)\sigma(2m)}.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen P_k\in I^{2k}(\mathfrak so(n)) und - falls n gerade ist - der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante Pf\in I^{\frac{n}{2}}(\mathfrak so(n)) erzeugt.

Beispiel G=GL(n,\mathbb C)[Bearbeiten]

Für k\in\mathbb N sei C_{\frac{k}{2}} das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad k, dessen Wert auf (A,\ldots,A) man als Koeffizienten vom Grad n-k im Polynom

det(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A)=\sum_kC_k(A,\ldots,A)\lambda^{n-k}

erhält, für alle A\in Mat(n,\mathbb C). Das Polynom C_k heißt das k-te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung i^kC_k(A,\ldots,A)=P_{\frac{k}{2}}(A,\ldots,A) zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den C_{k}\in I^k(\mathfrak gl(n,\mathbb C)) erzeugt.

Beispiel G=U(n)[Bearbeiten]

Für A\in\mathfrak u(n) ist A=-\overline{A}^T und damit det(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A)=\overline{det(\lambda \mathbb I -\frac{1}{2\pi i}A)}, deshalb sind die Chern-Polynome auf \mathfrak u(n) reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den C_{k}\in I^k(\mathfrak u(n)) erzeugt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.
  • Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3