Diskussion:Algebraische Menge

Änderungen, Änderungsvorschläge

Ich hab ein paar Änderungen vorgenommen. Erstens braucht man a.a., sonst sind die Sätze falsch. Hilberts Nullstellensatz setzt aa voraus.

Die Beispiele der Polynome waren falsch. Wenn ein Polynom in einer Variable irreduzibel ist und nicht linear ist, dann hat es keine Nullstelle, die Varietät ist also leer.

Ist der Körper nicht a.a., so können merkwürdige Dinge passieren. ZB kann ein irreduzibles Polynom in R[x,y] eine zweielementige Menge in R^2 definieren. Ich werde in den nächsten Tagen noch Beispiele hinzufügen.

Der Artikel sollte mE auf Irreduzibilität (Algebraische Geometrie) verschoben werden. Der Artikel Algebraische Varietät behandelt nämlich dieselben Objekte wie dieser hier.

Die Analogie zu der topologischen Zerlegung kann ich nicht nachvollziehen, ich finde sie nicht instruktiv und eher irreführend. Der Unterschied ist doch zu groß. Das steht auch nicht bei Harris. Es sollte aber der Hinweis auf die algebraische Version der Zerlegung (Primärzerlegung) und die allgemeinere Zerlegung in noetherschen Räumen geben.

Der Hinweis, dass manche Autoren Varietäten schon als irreduzibel definieren, fehlt noch.--Frogfol (Diskussion) 17:16, 15. Mär. 2014 (CET)

Ergänzung: Den Abschnitt Primideale überarbeite ich. Was eigentlich hier gebraucht wird, ist eine andere Aussage, nämlich dass Varietäten 1:1 den Radikalidealen entsprechen, wobei Primideale den irreduziblen Varietäten entsprechen. --Frogfol (Diskussion) 18:01, 15. Mär. 2014 (CET)

Ob einem die Analogie zur Topologie gefällt ist natürlich Geschmackssache. Man sollte aber erwähnen, dass irreduzible komplexe Varietäten zusammenhängend sind, während die Umkehrung nicht gilt. Gut wären auch explizite Kriterien, falls es welche gibt, mit denen man Irreduzibilität einer durch Polynome gegebenen (komplexen oder reellen) Varietät entscheiden kann. Gefunden hatte ich dazu leider nichts.--Café Bene (Diskussion) 18:36, 15. Mär. 2014 (CET) Zum Beispiel: warum definiert die Gleichung $x^{2}+y^{2}+z^{2}-xyz-2$ eine irreduzible Varietät über den komplexen Zahlen? Gibt es brauchbare Kriterien oder brauchbare Literatur, auf die man für solche Fragen verweisen könnte?--Café Bene (Diskussion) 14:57, 16. Mär. 2014 (CET)

Das Problem mit den Primidealen versteh ich nicht. Die Korrespondenz zwischen Varietäten und Radikalidealen gehört in den Artikel zu Varietäten, hier geht es nur um irreduzible Varietäten, die eben Primidealen entsprechen.--Café Bene (Diskussion) 18:40, 15. Mär. 2014 (CET)

Im Artikel Varietäten werden Varietäten als irreduzibel definiert, das machen einige Autoren so. Insofern behandeln beide Artikel dieselben Objekte.

Ist der Körper nicht aa, so definiert ein Primideal nicht unbedingt eine irreduzible Varietät: y^2+(x^2-1)^2 ist über R irreduzibel, die Varietät besteht aber aus zwei Punkten, ist also reduzibel.

erg: Vorher stand da nur, dass die Verschwindeideale irreduzibler prim sind. Du brauchst aber, dass ein Primideal eine irreduzible Varietät definiert. Oder vielleicht war auch gemeint, dass ein Ideal prim ist, wenn seine Nullstellenmenge irreduzibel ist. Das ist natürlich auch für aa Köper iA falsch.--Frogfol (Diskussion) 18:51, 15. Mär. 2014 (CET)

Artikel ist verwaist, Zusammenfassung mit irreduzibler topologischer Raum

Zu dieser Seite führen keine Links (siehe Wikipedia:WikiProjekt Verwaiste Seiten/Kategorien/Mathematik). Ich erkläre mir das damit, dass auch ein allgemeiner Artikel irreduzibler topologischer Raum existiert. Es wäre möglicherweise sinnvoll diesen Artikel in den allgemeineren Artikel zu integrieren.--SigmaB (Diskussion) 15:48, 19. Mär. 2016 (CET)

Absichtserklärung: Auf Algebraische Menge verschieben

@SigmaB: @Café Bene: @부고: Ich schlage vor, das dieser Artikel auf Algebraische Menge verschoben wird. Natürlich ist mir bewusst, dass die beiden Begriffe alles andere als gleichbedeutend sind. Trotzdem: Einen Artikel über algebraische Varietäten haben wir schon, wonach Varietäten per Definition irreduzibel sind – und einiges (z.B. die Komponentenzerlegung) aus dem vorliegenden Artikel wäre genau so gut unter der Überschrift Algebraische Menge aufgehoben.

Wenn kein Widerspruch oder anderslautende Vorschläge kommen, werde ich vermutlich am Donnerstag (04.08.16) die Verschiebung durchführen. Da SigmaB als erster an diesem Fall dran war, hat er das Vorrecht, das Problem mit diesem Artikel anders zu lösen, wenn er will. --GroupCohomologist (Diskussion) 20:20, 1. Aug. 2016 (CEST)