Algebraische Varietät

In der klassischen algebraischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist eine algebraische Varietät ein geometrisches Objekt, das durch Polynomgleichungen beschrieben werden kann.

Definitionen

Affine Varietäten

Es sei $K$ ein fester, algebraisch abgeschlossener Körper.

Eine affine algebraische Menge ist eine Teilmenge eines affinen Raums $K^n$, die die Form

$\{x\in K^n\mid f_1(x)=\ldots=f_k(x)=0\}$

für eine (endliche) Menge $\{f_1,\ldots,f_k\}$ von Polynomen in $K[X_1,\ldots,X_n]$ hat. (Hilberts Basissatz sagt aus, dass man jedes unendliche System von Polynomgleichungen durch ein dazu äquivalentes mit endlich vielen Gleichungen ersetzen kann.)

Eine affine Varietät ist eine irreduzible affine algebraische Menge, d. h. eine nichtleere algebraische Menge, die nicht die Vereinigung zweier echter algebraischer Teilmengen ist.

Die algebraischen Teilmengen einer affinen Varietät können als abgeschlossene Mengen einer Topologie aufgefasst werden, der Zariski-Topologie. Eine quasi-affine Varietät ist eine offene Teilmenge einer affinen Varietät.

Für eine Menge $Z\subseteq K^n$ sei $I(Z)$ das Ideal aller Polynome, die auf ganz $Z$ verschwinden:

$I(Z)=\{f\in K[X_1,\ldots,X_n]\mid f(x)=0\ \mathrm{f\ddot ur\ alle}\ x\in Z\}$

Der Koordinatenring einer affinen Varietät $V$ ist der Quotientenring

$K\left[V\right]:=K[X_1,\ldots,X_n]/I(V)$.

Es werden also solche Polynome miteinander identifiziert, die als Funktion auf $V$ übereinstimmen.

Der Quotientenkörper von $K\left[V\right]$ ist der Körper der rationalen Funktionen $K(V)$.

Die Strukturgarbe $(V,{\mathcal O}_V)$ ist definiert durch

${\mathcal O}_V(U_f):=R_f$.

Hierbei ist für eine durch $U_f:=\left\{x\in V: f(x)\not=0\right\}$ mit $f\in K\left[V\right]$ definierte offene Menge der Ring $R_f:=\left\{\frac{r}{f^n}:r\in K\left[V\right], n\in\mathbb N\right\}$ ein lokaler Ring.

Projektive Varietäten

→ Hauptartikel: Projektive Varietät

In manchen Zusammenhängen zeigen affine Varietäten kein gutes Verhalten, da „Punkte im Unendlichen“ fehlen. Projektive Varietäten sind hingegen vollständig. Diese Tatsache spiegelt sich zum Beispiel im Satz von Bézout wider, der für die Anzahl der Schnittpunkte projektiver ebener Kurven eine exakte Formel liefert, für affine ebene Kurven hingegen nur eine Abschätzung.

Es sei $P^n$ der $n$-dimensionale projektive Raum über dem Körper $K$. Für ein homogenes Polynom $f\in K[X_0,\ldots,X_n]$ und einen Punkt $x=[x_0:\ldots:x_n]$ ist die Bedingung $f(x_0,\ldots,x_n)=0$ unabhängig von den gewählten homogenen Koordinaten von $x$.

Eine projektive algebraische Menge ist eine Teilmenge des projektiven Raumes, die die Form

$\{x\in P^n\mid f_1(x)=\ldots=f_k(x)=0\}$

für homogene Polynome $f_1,\ldots,f_k$ in $K[X_0,\ldots,X_n]$ hat.

Eine projektive Varietät ist eine irreduzible projektive algebraische Menge.

Auch auf projektiven Varietäten wird die Zariski-Topologie so definiert, dass die abgeschlossenen Mengen genau die algebraischen Teilmengen sind. Eine quasi-projektive Varietät ist eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät.

Für eine projektive algebraische Menge $Z\subseteq P^n$ sei $I(Z)$ das Ideal, das durch die homogenen Polynome, die auf ganz $Z$ verschwinden, erzeugt wird. Der homogene Koordinatenring einer projektiven Varietät $V$ ist der Quotientenring $K[X_0,\ldots,X_n]/I(V)$.

Abbildungen zwischen Varietäten

Seien $V\subset K^m, W\subset K^n$ affine Varietäten, dann heißt eine Abbildung $\phi:V\rightarrow W$ regulär, wenn es eine polynomielle Abbildung $\Phi:K^m\rightarrow K^n$ mit $\Phi\mid_V=\phi$ gibt.

Eine reguläre Abbildung $\phi$ ist ein Isomorphismus, wenn es eine reguläre Abbildung $\psi:W\rightarrow V$ mit $\phi\psi=id, \psi\phi=id$ gibt.

Eine reguläre Abbildung $\phi:V\rightarrow W$ ist birational, wenn sie ein Isomorphismus zwischen offenen, dichten Teilmengen (bzgl. der Zariski-Topologie) ist. Eine birationale Abbildung induziert einen Isomorphismus der Funktionenkörper $f_*:K(V)\rightarrow K(W)$.

Dimension

Die Krulldimension einer algebraischen Varietät $V$ ist die größte Zahl $n$, so dass eine Kette $Z_0\subsetneq Z_1\ldots\subsetneq Z_n$ irreduzibler abgeschlossener Teilmengen von $V$ existiert.

Die Dimension einer affinen Varietät ist gleich der Dimension ihres Koordinatenringes. Die Dimension einer projektiven Varietät ist um Eins kleiner als die Dimension ihres homogenen Koordinatenringes.

Singularitäten

Anschaulich, insbesondere bei Kurven und Flächen, sind Singularitäten Punkte, an denen keine Tangente existiert, zum Beispiel die Spitze beim Doppelkegel. Generell heißt ein Punkt $x$ einer algebraischen Varietät oder allgemeiner eines Schemas singulär oder eine Singularität, wenn der zugehörige lokale Ring nicht regulär ist. Für abgeschlossene Punkte algebraischer Varietäten ist dies äquivalent dazu, dass die Dimension des Zariski-Tangentialraumes größer als die Dimension der Varietät ist.

Als Auflösung der Singularitäten einer Varietät $V$ bezeichnet man eine nicht-singuläre Varietät $W$ mit einer eigentlichen birationalen Abbildung $f:W\rightarrow V$.

Literatur

• Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2000, ISBN 3-528-03156-5.
• Robin Hartshorne: Algebraic Geometry. Springer-Verlag, New York 1977, ISBN 0-387-90244-9.