Doob-Zerlegung

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.

Aussage

Seien $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\mathcal {F}}=({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Filtrierung. Jeder an ${\mathcal {F}}$ adaptierte und integrierbare stochastische Prozess $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist dann darstellbar als $X=M+A$, wobei $M$ ein Martingal und $A$ vorhersagbar ist, d.h. es gilt: $A_{n+1}$ ist ${\mathcal {F}}_{n}$-messbar für alle $n\in \mathbb {N}$. Mit der Festsetzung $A_{0}=0$ ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist $A$ genau dann monoton wachsend, wenn $X$ ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für $n\in \mathbb {N}$

• $M_{n}:=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]{\bigr )}$ und
• $A_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}\mid {\mathcal {F}}_{k-1}]-X_{k-1}{\bigr )},$

dann gilt $X_{n}=M_{n}+A_{n}$. Die Martingaleigenschaft von $M$ und Vorhersagbarkeit von $A$ folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung $X=M'+A'$ der Prozess $M-M'=A'-A$ sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls $X$ ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von $A_{n}$ größer oder gleich 0, also ist $A$ ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

• J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8