Messbare Funktion

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Eine messbare Funktion ist in der Mathematik definiert als eine Funktion  f aus einem Messraum (X_1,\mathcal{A}_1) in einen Messraum (X_2,\mathcal{A}_2), bei der das Urbild jeder messbaren Teilmenge aus X_2 eine messbare Teilmenge von X_1 ist. Eine solche Funktion wird auch als \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar bezeichnet.

Spezialfälle[Bearbeiten]

  • Ist der Zielbereich der Funktion ein normierter oder metrischer Raum, so stattet man diesen üblicherweise mit der von diesem erzeugten Borelschen σ-Algebra aus und erwähnt die Algebra nicht weiter, sondern spricht einfach von Messbarkeit.
  • Ist der Definitionsbereich der Funktion der \R^n, stattet man diesen üblicherweise mit der σ-Algebra der Lebesgue-messbaren Mengen aus.
  • Eine Funktion f\colon \R^n \to \R erfüllt beide obigen Bedingungen. Sie ist entsprechend messbar, wenn das Urbild von Borelmengen eine Lebesgue-messbare Menge ist.

Einordnung[Bearbeiten]

Urbild einer messbaren Menge

Der Begriff der Messbarkeit wird durch die Definition der Integration von Henri Lebesgue motiviert: Für die Lebesgue-Integration einer Funktion f\colon \mathbb R \rightarrow \mathbb R bezüglich des Lebesgue-Maßes muss Mengen der Form f^{-1}([a,b]) ein Maß zugeordnet sein. Beispiele für Funktionen, für die dies nicht möglich ist, sind Indikatorfunktionen von Vitali-Mengen. Die Definition der Lebesgue-Integration für beliebige Maßräume führt dann zu obiger Definition der messbaren Funktion.

Der Begriff der messbaren Funktion hat Parallelen zur Definition der stetigen Funktion. Eine Funktion zwischen topologischen Räumen X_1 und X_2 ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen von X_2 wiederum offene Mengen von X_1 sind. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-Algebra ist die borelsche σ-Algebra. Eine stetige Funktion ist also messbar bezüglich der Borel-σ-Algebren von X_1 und X_2, kurz borel-messbar. Eine gewisse Umkehrung dieser Aussage ist der Satz von Lusin.

Messbare Funktionen spielen als Zufallsvariablen eine wichtige Rolle in der Wahrscheinlichkeitstheorie.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Indikatorfunktionen von messbaren Mengen und Linearkombinationen solcher Funktionen (sogenannte einfache Funktionen) sind Beispiele messbarer Funktionen von einem Maßraum in die reellen Zahlen, ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra.

Die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder eine messbare Funktion, genauer: ist f \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2-messbar und g \mathcal{A}_2-\mathcal{A}_3-messbar, so ist g o f \mathcal{A}_1-\mathcal{A}_3-messbar.

Eine (reelle) Lebesgue-Borel-messbare Funktion ist nicht unbedingt Borel-Borel-messbar. Auch ist eine Lebesgue-Borel-messbare Funktion nicht unbedingt Lebesgue-Lebesgue-messbar. Die Verkettung zweier Lebesgue-Borel-messbarer Funktionen ist also nicht zwangsläufig wiederum Lebesgue-Borel-messbar. [1][2]

Starke Messbarkeit[Bearbeiten]

Ist eine Funktion in einem metrischen Raum punktweiser Limes von Elementarfunktionen, d.h. messbaren Funktionen mit endlichem Bild, so heißt sie „stark messbar“.

  • Jede messbare Funktion mit separablem Bild ist stark messbar.
  • Jede stark messbare Funktion ist messbar.

Starke Messbarkeit und Messbarkeit unterscheiden sich nur voneinander, wenn der Zielraum nicht-separabel ist. Dies ist beispielsweise bei der Definition von verallgemeinerten Integralen wie dem Bochner-Integral der Fall.

Prüfung der Messbarkeit auf Erzeugendensystemen[Bearbeiten]

Werden die σ-Algebren \mathcal{A}_1,\mathcal{A}_2 von den Mengensystemen \mathcal{S}_1 und \mathcal{S}_2 erzeugt; also \mathcal{A}_i=\sigma(\mathcal{S}_i), dann genügt es, die Messbarkeit von f für alle U\in\mathcal{S}_2 zu zeigen.

Für eine Abbildung f von einem Messraum (X,\mathcal{A}) nach \mathbb{R} gilt somit, dass f genau dann messbar ist, wenn eines der Mengensysteme

  • \{f \leq a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f < a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f \geq a\}, a\in\mathbb{R},
  • \{f > a\}, a\in\mathbb{R}

in \mathcal{A} liegt (wenn als σ-Algebra auf \mathbb{R} die Borelsche σ-Algebra genommen wird). Dabei ist \{f \leq a\} etc. als Abkürzung für \{x\in X | f(x)\leq a\}=f^{-1}((-\infty,a]) zu verstehen. Es würde auch ausreichen, wenn das a nur alle rationalen Zahlen durchläuft.

Abgrenzung[Bearbeiten]

Eine Teilmenge eines Messraums heißt messbar, wenn sie Element der σ-Algebra des Messraums ist und ihr somit ein Maß zugeordnet werden kann.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.
  • Henri Lebesgue: Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Gauthier-Villars, Paris 1904.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Robert B. Ash, Catherine Doléans-Dade: Probability and measure theory. 2nd edition. Academic Press, San Diego CA u. a. 2000, ISBN 0-12-065202-1, S. 41.
  2. Vladimir I. Bogachev: Measure theory. Band 1. Springer, Berlin u a. 2007, ISBN 978-354-03451-3-8, S. 193.