Martingal

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Dieser Artikel behandelt den Prozess Martingal in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zu Martingal im Reitsport siehe Hilfszügel. Zur entsprechenden Glücksspielstrategie siehe Martingalespiel.
Beim eindimensionalen Random Walk geht man zu jedem Zeitpunkt (x-Achse) mit Wahrscheinlichkeit 1/2 nach oben oder unten (y-Achse), fünf mögliche Pfade sind dargestellt. Ist M_n die Position auf der y-Achse zum Zeitpunkt n, so erhält man ein Martingal (M_n)_n.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Martingal ein stochastischer Prozess, bei dem der bedingte Erwartungswert einer Beobachtung gleich dem Wert der vorigen Beobachtung ist.

Martingale wurden von Paul Lévy in die Mathematik eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

Zeitdiskreter Fall[Bearbeiten]

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \mathcal{A}, P) sei eine Folge (M_0, M_1, \ldots) integrierbarer Zufallsvariablen gegeben, d. h., für alle n \in \N_0 gelte E(|M_n|) < \infty. Diese Folge heißt ein Martingal, wenn für alle n \in \N_0 der bedingte Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung M_{n+1} gleich dem zuletzt beobachteten Wert ist, also

E(M_{n+1} \mid M_0, M_1, \dots, M_n) = M_n.

Diese Bedingung kann so interpretiert werden, dass ein Martingal ein faires Spiel ist, da der Erwartungswert einer zukünftigen Beobachtung gleich der letzten getätigten Beobachtung ist. Wenn der Wert eines Martingals zum Zeitpunkt n bekannt ist, dann ist der Erwartungswert zukünftiger Beobachtungen nicht von Werten abhängig, die vor n beobachtet wurden. Damit gilt noch nicht zwingend die Markow-Eigenschaft, dass die Verteilung von M_{n+1} lediglich von M_n abhängt. Zum Beispiel kann die Streuung des Martingals auch von Beobachtungen vor n abhängen.

Die Information, die zum Zeitpunkt n über den stochastischen Prozess (M_n)_{n\in\N_0} bekannt ist, kann allgemeiner durch eine Filtrierung gegeben sein. Eine Filtrierung ist eine Folge (\mathcal F_n)_{n\in\N_0} von σ-Algebren, die aufsteigend geordnet ist, d. h. für alle n \in \N_0 gilt \mathcal F_n \subseteq \mathcal F_{n+1}. Der integrierbare Prozess (M_n)_{n\in\N_0} heißt Martingal bezüglich der Filtrierung (\mathcal F_n)_{n\in\N_0}, wenn gilt:

  • Für alle n \in \N_0 ist M_n messbar bezüglich \mathcal F_n (man sagt dazu „der Prozess ist an die Filtrierung adaptiert“) und
  • für alle n \in \N_0 gilt die Martingalgleichung E(M_{n+1} \mid \mathcal F_n) = M_n.

Der oben betrachtete Fall eines Martingals „schlechthin“ ist in dieser Definition enthalten. Man wähle dazu für \mathcal F_n die von M_0, \dots, M_n erzeugte σ-Algebra \sigma(M_0, \dots, M_n).

Verallgemeinerung auf allgemeine Indexmengen[Bearbeiten]

Sei  (M_t)_{t \in T} ein stochastischer Prozess auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (\Omega, \mathcal{A}, P) mit einer beliebigen, geordneten Indexmenge T.

 (M_t)_{t \in T} heißt ein Martingal bezüglich einer Filtrierung (\mathcal{F}_t)_{t \in T}, wenn gilt:

  • Für alle t \in T ist M_t messbar bezüglich \mathcal{F}_t,
  • für jedes  t \in T gilt E(|M_t|) < \infty , und
  • für alle s, t \in T mit s \le t gilt  E(M_t \mid \mathcal{F}_s) = M_s (P-fast sicher).

Der zeitdiskrete Fall ist in dieser allgemeinen Definition für T = \N_0 enthalten, denn aus E(M_{n+1} \mid \mathcal F_n) = M_n für alle n \in \N_0 folgt induktiv E(M_{m} \mid \mathcal F_n) = M_n für alle m,n \in \N_0 mit n \leq m. Besonders wichtig ist weiterhin der Fall T = [0,\infty) beliebiger nichtnegativer Zeitpunkte als Indexmenge.

Sub- und Supermartingal[Bearbeiten]

Als Submartingal bezeichnet man einen adaptierten und integrierbaren stochastischen Prozess X_t, der im Gegensatz zum Martingal tendenziell steigt:

E(X_t \mid \mathcal{F}_s) \geq X_s \;\; \mbox{für alle} \; s<t

Dementsprechend ist ein Supermartingal ein adaptierter und integrierbarer stochastischer Prozess X_t, der tendenziell fällt:

 E(X_t \mid \mathcal{F}_s)\leq X_s\;\; \mbox{für alle} \; s<t

Motivierendes Beispiel[Bearbeiten]

Der Begriff des Martingals lässt sich als Formalisierung und Verallgemeinerung eines fairen Glücksspiels auffassen. Sei dazu M_0 das Startkapital des Spielers. Dieses wird in vielen Fällen eine Konstante sein, aber auch ein zufälliges Startkapital ist denkbar. Der zufällige Gewinn im ersten Spiel werde mit X_1 bezeichnet. Er kann positiv, null oder negativ (also ein Verlust) sein. Das Kapital des Spielers nach dem ersten Spiel beträgt M_1 = M_0 + X_1 und allgemein nach dem n-ten Spiel

M_n = M_0 + \sum_{k=1}^n X_k,

wenn X_k den Gewinn im k-ten Spiel bezeichnet. Bei einem fairen Glücksspiel ist der Erwartungswert jedes Gewinns gleich null, d. h., es gilt E(X_k) = 0 für alle k\in\N.

Der Spielverlauf werde nun bis zum Zeitpunkt n einschließlich beobachtet, d. h. die Kapitalstände M_0, M_1, \dots, M_n seien bekannt. Falls nun der Gewinn im nächsten, also im n+1-ten, Spiel unabhängig vom bisherigen Spielverlauf ist, dann berechnet sich das erwartete Gesamtkapital M_{n+1} = M_n + X_{n+1} nach dem nächsten Spiel unter Berücksichtigung aller zur Verfügung stehenden Informationen mit Hilfe der Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte zu

E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) = E(M_n \mid M_0, \dots M_n) + E(X_{n+1} \mid M_0,\ldots,M_n) = M_n + E(X_{n+1}) = M_n.

Damit ist gezeigt, dass sich das Kapital eines Spielers, der an einem fairen Glücksspiel teilnimmt, als Martingal modellieren lässt.

Bei realen Glücksspielen, wie beispielsweise beim Roulette, ist jedoch wegen des Bankvorteils der erwartete Gewinn bei jedem Spiel im Allgemeinen negativ, also E(X_k) < 0. Dann ergibt sich analog zur obigen Rechnung

E(M_{n+1} \mid M_0,\dots,M_n) \leq M_n.

Aus Sicht des Spielers handelt es sich in diesem Fall um ein Supermartingal (Merkspruch: „Supermartingale sind super für die Spielbank“).

Beispiele für zeitstetige Martingale[Bearbeiten]

Wiener-Prozess als Beispiel für ein Martingal
  • Ein Wiener-Prozess W_t ist ein Martingal, ebenso sind für einen Wiener-Prozess W_t die Prozesse W_t^2 - t und die geometrische brownsche Bewegung ohne Drift a \exp\left(\sigma W_t - \frac{\sigma^2}{2}t\right) Martingale.
  • Ein Poisson-Prozess mit Rate \lambda, der um seine Drift bereinigt wird, also \hat P_{\lambda,t}=P_{\lambda,t}-\lambda t, ist ein Martingal.
  • Nach dem Lemma von Itō gilt: Jedes Itō-Integral (mit beschränktem Integranden) ist ein Martingal. Nach dem Itoschen Martingaldarstellungssatz lässt sich umgekehrt jedes Martingal (sogar jedes lokale Martingal) bezüglich einer von einer Brownschen Bewegung erzeugten Filtration als Ito-Integral bezüglich ebendieser Brown'schen Bewegung darstellen.
  • Jedes stetige Martingal ist entweder von unendlicher Variation oder konstant.
  • Jedes gestoppte Martingal ist wieder ein Martingal.
Gestoppte Brownsche Bewegung als Beispiel für ein Martingal

Quadratische Variation und Exponentialmartingal[Bearbeiten]

Ist die quadratische Variation \langle M\rangle eines stetigen beschränkten Martingals M_t (oder eines mit endlichen exponentiellen Momenten) endlich, so ist der stochastische Prozess

X_t = M_t^2 - \langle M \rangle_t

ebenfalls ein Martingal.

Ebenso ist das sog. Exponentialmartingal von M_t, gegeben durch

X_t=e^{\left(M_t-\frac{1}{2}\langle M\rangle_t\right)},

ein Martingal.

Herkunft des Wortes[Bearbeiten]

Die Martingale ist eine seit dem 18. Jahrhundert bekannte Strategie im Glücksspiel, bei der nach einem verlorenen Spiel der Einsatz erhöht, im einfachsten Fall verdoppelt wird, so dass im hypothetischen Falle unerschöpflichen Vermögens, unerschöpflicher Zeit, und der Nichtexistenz eines Höchsteinsatzes sicherer Gewinn einträte.[1]

Da die Martingale das bekannteste Spielsystem war und ist, wurde der Begriff auch als Synonym für „Spielsystem“ gebraucht und fand so Eingang in die mathematische Literatur.[2]

Das Wort „Martingale“ selbst stammt aus dem Provenzalischen und leitet sich von der französischen Stadt Martigues im Département Bouches-du-Rhône am Rande der Camargue ab, deren Einwohner früher als etwas naiv galten. Der provenzalische Ausdruck jouga a la martegalo bedeutet so viel wie sehr waghalsig zu spielen.

Der „Martingal“ genannte Hilfszügel soll ebenfalls nach der Stadt Martigues benannt sein, hierbei handelt es sich um einen optionalen Teil der Pferdeausrüstung, der das Pferd daran hindern soll, den Kopf nach oben zu reißen und zu steigen. Dass dieser Hilfszügel ebenfalls Martingal genannt wird, war den Pionieren der Martingaltheorie nicht bekannt[3] – und hat mit der mathematischen Begriffsbildung nichts zu tun.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Historische Literatur
  • Paul Lévy: Calcul de probabilités. Gauthier-Villars, Paris 1925.
  • J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, New York 1953.
Einführungen
Diskrete Martingale
  • Harald Luschgy: Martingale in diskreter Zeit. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-29960-5.
  • J. Neveu: Discrete-Parameter Martingales. North-Holland, Amsterdam 1975.
  • Y. S. Chow und H. Teicher: Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales. Springer, New York 1997.
Stetige Martingale
  • C. Dellacherie, P.-A. Meyer: Probabilités et potentiel I-IV, Hermann Paris, 1975-1987. (Englische Übersetzung bei North Holland.)
Anwendungen
  • R. Bouss: Optimierung des Kreditgeschäftes mit Martingalen. Haupt, Bern 2003.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. de Gruyter, Berlin 1991, S. 144.
  2. http://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf The Origins of the Word "Martingale"
  3. http://www.jehps.net/juin2009/Mansuy.pdf a.a.O. p.2