Einstein-Cartan-Theorie

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Die Einstein-Cartan-Theorie (ECT) ist eine Gravitationstheorie und stellt eine Verallgemeinerung der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) dar.

Während die ART auf Basis der Riemannschen Geometrie formuliert wird, basiert die ECT auf der verallgemeinerte Riemann-Cartan-Geometrie. In ersterer wird die Torsion der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit gleich Null gesetzt, während letztere nicht-verschwindende Torsion zulässt.

Die ECT ist für eine widerspruchsfreie Kopplung von Materiefeldern mit Spin an die Gravitation erforderlich, da Spin im Allgemeinen eine nicht-verschwindende Torsion induzieren. Im Gegensatz zur ART betrachtet die ECT nicht nur den Energie-Impuls-Tensor sondern auch den Spintensor als Quelle eines Gravitationsfeldes, da Materieteilchen auch Spin-Quantenzahlen aufweisen.

Die Beiden Feldgleichungen der Einstein-Cartan-Theorie lauten (Konvention ist G = 1)

R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 8\pi T_{\mu\nu}
Q_{\mu\nu}^\rho + \delta^\rho_\mu Q_{\nu\sigma}^\sigma - \delta^\rho_\nu Q_{\mu\sigma}^\sigma = 8\pi S_{\mu\nu}^\rho

Dabei steht T für den im Allgemeinen nicht-symmetrischen Energie-Impuls-Tensor, S für den Spindichte-Tensor und Q für den Torsions-Tensor.

Die erste Gleichung entspricht formal den Einsteinschen Feldgleichungen. Die zweiten Gleichung ist eine rein algebraische Relation und kann explizit gelöst werden:

Q_{\mu\nu}^\rho = 8\pi (S_{\mu\nu}^\rho + \frac{1}{2}\delta_\mu^\rho S_{\nu\sigma}^\sigma + \frac{1}{2}\delta_\nu^\rho S_{\sigma\mu}^\sigma )

Man erkennt unmittelbar, dass die Torsion Q im Vakuum, d.h. bei Abwesenheit von Materie und deren Spindichte S, verschwindet; die ECT entspricht in diesem Fall exakt der ART. Der wesentliche Unterschied zur Krümmung ist, dass diese über Differentialgleichungen von der Energie-Impuls-Dichte T abhängt und somit ein Propagation von Krümmung in Vakuum möglich ist. Demgegenüber propagiert Torsion Q nicht. Sie stellt demzufolge auch keinen zusätzlichen dynamischen Freiheitsgrad der Gravitation im Rahmen der ECT dar.

Innerhalb von Materie mit nicht-verschwindendem Spintensor S ergeben sich Abweichungen von der ART, die jedoch unterhalb der Nachweisgrenze liegen. Damit sind ART und ECT heute experimentell nicht unterscheidbar, erst letztere bietet jedoch den geeigneten theoretischen Rahmen zur Formulierung von Spinorfeldern und deren Kopplung an die Gravitation.

Man betrachte als abschließendes Beispiel ein masseloses Dirac-Feld mit der Lagrangedichte

 \mathcal{L}_\text{Dirac} = \frac{i}{2}\left[ \bar{\psi} \gamma^\mu (D_\mu\psi) - (D_\mu \bar{\psi}) \gamma^\mu \psi  \right]

Dieses führt auf Energie-Impuls- sowie Spintensor

 T_{\mu\nu} = \frac{i}{2}\left[ \bar{\psi} \gamma_\mu (D_\nu\psi) - (D_\nu \bar{\psi}) \gamma_\mu \psi  \right]
S_{\mu\alpha\beta} = \frac{i}{4} \bar{\psi} \{\gamma_\mu,\sigma_{\alpha\beta}\} \psi

Die ECT wurde auf Basis der geometrischen Arbeiten des französischen Mathematikers Élie Cartan zwischen 1961 und 1965 insbesondere von Sir Thomas Kibble und Dennis W. Sciama entwickelt.

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