Levi-Civita-Zusammenhang

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In der Mathematik, insbesondere in der riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie, versteht man unter einem Levi-Civita-Zusammenhang einen Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit, der in gewisser Weise mit der Metrik der Mannigfaltigkeit verträglich ist. Der Levi-Civita-Zusammenhang spielt beim modernen Aufbau der riemannschen Geometrie eine zentrale Rolle. Er stellt dort eine Verallgemeinerung der klassischen Richtungsableitung aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung in euklidischen Räumen dar und ist geeignet, die Richtungsänderung eines Vektorfeldes in Richtung eines weiteren Vektorfeldes zu quantifizieren. Der Begriff des Levi-Civita-Zusammenhangs ist äquivalent zum Paralleltransport im Sinne von Levi-Civita und daher ein Mittel, um Tangentialräume in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen, woher auch die Bezeichnung Zusammenhang rührt. Da die (semi-)riemannsche Geometrie ein wesentliches Werkzeug zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie ist, wird der Levi-Civita-Zusammenhang auch hier benutzt. Eine weitere Anwendung findet der Levi-Civita-Zusammenhang bei der Konstruktion des Dirac-Operators einer Spin-Mannigfaltigkeit.

Motivation[Bearbeiten]

Für Vektorfelder X und Y=\sum_{i=1}^nf_i\frac{\partial}{\partial x_i} auf dem euklidischen Raum \mathbb R^n definiert man den Levi-Civita-Zusammenhang als die Richtungsableitung von Y nach X, d.h. die Richtungsableitung der einzelnen Komponenten von Y nach X:

\nabla^{\mathbb R^n}_XY=\sum_{i=1}^n\nabla_Xf_i\frac{\partial}{\partial x_i},

wobei \nabla_Xf_i die übliche Richtungsableitung bezeichnet.

Falls M\subset \mathbb R^n eine Untermannigfaltigkeit des \mathbb R^n ist und X,Y Vektorfelder auf M sind, dann ist \nabla^{\mathbb R^n}_XY ein auf M definiertes Vektorfeld, dessen Bilder aber im Tangentialraum des \mathbb R^n, nicht notwendig im Tangentialraum von M liegen. Für jedes x\in M kann man aber die orthogonale Projektion p:T_x\mathbb R^n\rightarrow T_xM benutzen und definiert dann

\nabla_XY:=p(\nabla^{\mathbb R^n}_XY).

Dieser Zusammenhang \nabla_XY erfüllt die unten angegebenen Axiome, nach dem Hauptsatz der Differentialgeometrie stimmt er also mit dem Levi-Civita-Zusammenhang überein. Der Vorteil des unten angegebenen axiomatischen Zugangs ist, dass man den Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) unabhängig von einer zu wählenden Einbettung M\rightarrow\mathbb R^n betrachten kann.

Definition[Bearbeiten]

Es sei (M,g) eine (semi-) riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau ein Zusammenhang \nabla auf dem Tangentialbündel TM von M mit den folgenden Eigenschaften:

Dieser Zusammenhang \nabla heißt Levi-Civita-Zusammenhang oder auch der riemannsche Zusammenhang von (M,g). Es ist benannt nach Tullio Levi-Civita.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Hauptsatz der riemannschen Geometrie[Bearbeiten]

Aus obiger Definition wird nicht klar, ob ein solcher Levi-Civita-Zusammenhang überhaupt existiert. Dies muss also erst bewiesen werden. Die Aussage, dass ein solcher Zusammenhang existiert und auch eindeutig ist, wird in der Literatur häufig Hauptsatz der riemannschen Geometrie genannt. Der Levi-Civita-Zusammenhang ist nämlich ein wesentliches Hilfsmittel zum Aufbau der riemannschen Krümmungstheorie. Denn der Krümmungstensor wird mit Hilfe eines Zusammenhangs definiert, daher bietet es sich an in der riemannschen Geometrie den eindeutig ausgezeichneten Levi-Civita-Zusammenhang für die Definition des riemannschen Krümmungstensors zu verwenden.

Koszul-Formel[Bearbeiten]

Der Levi-Civita-Zusammenhang \nabla ist eindeutig beschrieben durch die Koszul-Formel (benannt nach Jean-Louis Koszul)

\begin{align}
 &g(\nabla_XY,Z)\\
 &=\frac 12\bigl(X(g(Y,Z))+Y(g(Z,X))-Z(g(X,Y))-g(Y,[X,Z])-g(Z,[Y,X])+g(X,[Z,Y])\bigl).
\end{align}

Diese gibt eine implizite, globale Beschreibung von \nabla, die sich vor allem für einen abstrakten Existenzbeweis von \nabla eignet. Man kann zur Konstruktion von \nabla aber auch von einer lokalen Beschreibung ausgehen.

Christoffelsymbole[Bearbeiten]

Eine lokale Beschreibung von \nabla erhält man wie folgt. Allgemein wird ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel lokal durch seine Zusammenhangskoeffizienten beschrieben. Die Zusammenhangskoeffizienten des Levi-Civita-Zusammenhangs sind die klassischen Christoffelsymbole zweiter Art \Gamma_{ij}^k. Dies bedeutet im Einzelnen, dass bezüglich einer Karte (U,h) von M

\nabla_{\partial_i}\partial_j=\sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k\,\partial_k

mit

\Gamma_{ij}^k=\frac 12\sum_{l=1}^n g^{kl}(\partial_ig_{jl}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij})

gilt. Hierbei ist (g^{kl}) die inverse Matrix des riemannschen Fundamentaltensors (g_{kl}) und (\partial_1,\ldots,\partial_n) die Koordinatenbasis der Karte (U,h).

Da der Levi-Civita-Zusammenhang torsionsfrei ist, sind die Christoffelsymbole symmetrisch, d.h. für alle i, j und k gilt :\Gamma_{ij}^k=\Gamma_{ji}^k.


Man nennt \nabla_XY die kovariante Ableitung von Y entlang X, da \nabla die klassische kovariante Ableitung aus dem Tensorkalkül von Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita verallgemeinert.

Beziehungen zur Richtungsableitung[Bearbeiten]

Es seien (M,g) eine (semi-)riemannsche Mannigfaltigkeit und \nabla der Levi-Civita-Zusammenhang von (M,g). Außerdem seien X, Y Vektorfelder auf M. Dann lässt sich \nabla_XY wie folgt als Verallgemeinerung des Begriffs der Richtungsableitung für Vektorfelder des \mathbb{R}^n auffassen.

  • Es sei p\in M ein Punkt. Dann hängt \nabla_XY nur vom Tangentialvektor X(p) und dem Vektorfeld Y ab. Wählt man eine glatte Kurve \alpha\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\rightarrow M mit \alpha(0)=p und \alpha'(0)=X(p) und bezeichnet mit P^\alpha den Paralleltransport entlang \alpha im Sinne von Levi-Civita, so gilt
    (\nabla_XY)(p)=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{P_t^{\alpha}(Y\circ\alpha)-P_0^{\alpha}(Y\circ\alpha)}{t}.
Das heißt, (\nabla_XY)(p) ergibt sich wie die klassische Richtungsableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten, wobei das „Verpflanzungsgesetz“ (Hermann Weyl) von T_{\alpha(0)}M nach T_{\alpha(t)}M durch die Parallelverschiebung im Sinne Levi-Civitas gegeben ist. Im Spezialfall, in dem (M,g) der \R^n mit der Standardmetrik ist, stimmt dieser Begriff einer Parallelitätsverschiebung mit der herkömmlichen Parallelverschiebung im \R^n überein, sodass in diesem Fall die gewöhnliche Richtungsableitung eines Vektorfeldes entlang eines Vektorfeldes mit der neu definierten kovarianten Ableitung übereinstimmt.
  • Es sei p\in M ein Punkt. Dann existiert eine Karte (U,h) um p, sodass der metrische Fundamentaltensor (g_{ij}) im Punkt p bzgl. (U,h) durch (g_{ij}(p))=(\delta_{ij}) gegeben ist (Normalkoordinaten). Bezüglich einer solchen Karte gilt im Punkt p
    (\nabla_XY)(p)=\sum_{i,j=1}^nX_i(p)\frac{\partial Y_j}{\partial x_i}(p)\partial_j|_p,
wenn X_i und Y_j die lokalen Koordinaten von X und Y bezüglich (U,h) sind. D.h. bezüglich normaler Koordinaten lautet die lokale Definition von (\nabla_XY)(p) genau so wie im „flachen Fall“ des \R^n mit der Standardmetrik.

Der Levi-Civita-Zusammenhang besitzt eine besonders einfache Beschreibung in dem Fall, in dem (M,g) eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist, die dadurch entsteht, dass man die Standardmetrik des \R^n auf eine Untermannigfaltigkeit M des \R^n einschränkt. In diesem Fall ist der Levi-Civita-Zusammenhang \nabla von (M,g) wie folgt gegeben. Es gilt

(\nabla_XY)(p)=\mathrm{proj}_{T_pM}^\perp((D_{\tilde X}\tilde Y)(p)).

Dabei sind X, Y Vektorfelder auf M, \tilde X, \tilde Y Fortsetzungen dieser Vektorfelder zu Vektorfelder auf ganz \R^n, D_{\tilde X}\tilde Y die Richtungsableitung von \tilde Y entlang des Vektorfeldes \tilde X und \mathrm{proj}_{T_pM}^\perp die orthogonale Projektion von \R^n auf den Tangentialraum T_pM mit Fußpunkt p.

Richtungsableitung entlang Kurven[Bearbeiten]

Der Levi-Civita-Zusammenhang erlaubt es, den Begriff der Beschleunigung einer glatten Kurve, die in einer riemannschen Mannigfaltigkeit verläuft, zu definieren. Dies führt zu einer Beschreibung der Geodäten der zugrundeliegenden riemannschen Mannigfaltigkeit als den beschleunigungsfreien Kurven. Zunächst definiert der Levi-Civita-Zusammenhang (so wie jeder Zusammenhang auf einem Vektorbündel) eine Richtungsableitung für Vektorfelder, die entlang einer Kurve erklärt sind. Diese Richtungsableitung misst die Änderungsrate des Vektorfeldes in Richtung der Kurve. Es sind unterschiedliche Bezeichnungen für diese Ableitung in Gebrauch. Wir nennen die gebräuchlichsten im Anschluss zur Definition.

Es sei \alpha\colon I\rightarrow M eine glatte Kurve in der riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) und X ein Vektorfeld entlang \alpha. Die Richtungsableitung von X entlang \alpha im Punkt t_0\in I ist

(\nabla_\alpha X)(t_0):=\nabla_{\alpha'(t_0)}X.

Weitere gängige Bezeichnungen für diese Größe sind

\frac{\nabla_\alpha X}{dt}(t_0),\quad D_tX(t_0).

Insbesondere ist \alpha', das Geschwindigkeitsfeld von \alpha, selbst ein Vektorfeld entlang der Kurve \alpha. Die Beschleunigung von \alpha ist das Vektorfeld \nabla_{\alpha'}\alpha' entlang \alpha. Die Kurve \alpha ist genau dann eine Geodäte der riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g), wenn ihre Beschleunigung verschwindet. Von einem physikalischen Standpunkt aus lassen sich also Geodäten kinematisch als die Kurven deuten, denen ein Partikel in der riemannschen Mannigfaltigkeit folgen würde, wenn er keiner Krafteinwirkung ausgesetzt ist.

Paralleltransport[Bearbeiten]

Im Allgemeinen definiert ein Paralleltransport entlang einer Kurve bezüglich eines Zusammenhangs auf einem Vektorbündel einen Isomorphismus zwischen den Fasern, deren Fußpunkte auf der Kurve liegen. Ist der Zusammenhang der Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so sind die Isomorphismen orthogonal, also längen- und winkeltreu. Der vom Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit induzierte Paralleltransport stimmt mit dem von Levi-Civita 1918 erstmals definierten Paralleltransport überein (vgl. Paralleltransport im Sinne von Levi-Civita). Dieser wurde in einem Spezialfall von Ferdinand Minding antizipiert.

Riemannscher Zusammenhang[Bearbeiten]

In der Theorie der Prinzipalbündel werden Zusammenhänge als Lie-Algebra-wertige 1-Formen definiert. Da das Rahmenbündel F(M) einer riemannschen Mannigfaltigkeit M ein Prinzipalbündel mit der Gruppe GL(n,\mathbb R) ist, kann man mit Hilfe des Levi-Civita-Zusammenhanges \nabla eine Zusammenhangsform wie folgt definieren.

Seien (x_i)_i lokale Koordinaten in einer Umgebung von p\in M, so dass die Basis B=(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}) ein Element des Rahmenbündels ist, also B\in F(M)_p. Die Christoffel-Symbole \Gamma_{ij}^k des Levi-Civita-Zusammenhangs werden dann durch \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_i}}\frac{\partial}{\partial x_j}=\sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial x_k} beschrieben. Die durch \theta(X):=B^{-1}(\pi(X)) definierte \mathbb R^n-wertige 1-Form auf F(M) habe in diesen Koordinaten die Zerlegung \theta(X)=\sum_{i=1}^n\theta_{ji}\frac{\partial}{\partial x_i}. Sei (X_1,\ldots,X_n)=(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}) die auf eine Umgebung fortgesetzte Basis von T_pM. Dann definiert

(\omega_{ij})_{ij}=(\sum_{k=1}^n \theta_{ik}(dX_{jk}+\sum_{l,m}\Gamma_{ml}^k X_{jl}dx_m))_{ij}

eine Matrix-wertige 1-Form und es gilt

\theta\in\Omega^1(F(M),{\mathfrak gl}(n,\mathbb R)). [1]

Der durch den riemannschen Zusammenhang definierte Paralleltransport auf dem Rahmenbündel stimmt mit dem von dem Levi-Civita-Zusammenhang definierten Paralleltransport auf dem Tangentialbündel überein.

Literatur[Bearbeiten]

  • Isaac Chavel: Riemannian Geometry. A Modern Introduction. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0521619548.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
  • Barrett O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity. Academic Press, New York 1983, ISBN 0125267401.
  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 2). Publish or Perish Press, Berkeley 1999, ISBN 0-914098-71-3.
  • Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. 3. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3528269170.
  • Hermann Weyl: Raum, Zeit, Materie. Springer, 1923.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Section iii.7