Eulersche Betafunktion

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit $\Beta$ bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

$\Beta(x,y) = \int\limits_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, \mathrm{d}t,$

wobei $x$ und $y$ einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion war die erste bekannte Streuamplitude in der Stringtheorie. Sie tritt darüber hinaus bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines

Bei festem $x$ (bzw. $y$) ist $\Beta$ eine holomorphe Funktion von $y$ (bzw. $x$), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

$\Beta(x,y) = \Beta(y,x)$.

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit $Re(x) > 0$ und $Re(y) > 0$

$\begin{align} \Beta(x,y) & {} =\int\limits_0^\infty \frac{t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}\,\mathrm{d}t \\ & {} = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2y-1}(t) \cos^{2x-1}(t) \mathrm{d}t. \end{align}$

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

$\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$

wobei $\Gamma$ die Eulersche Gammafunktion bezeichnet. An dieser Darstellung kann man auch ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang $x=k$ und $y=k$ für ganze Zahlen $k \leq 0$ hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass $\Beta(x,y)$ für alle rationalen, nicht ganzzahligen x, y transzendent ist.

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

$\Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0$

$\Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0$

$\Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},$

$\Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},$

$\Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},$

$\Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}$

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

${n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.$

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige $x$ und $y$ auf:

$\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}$.

Ableitung

Die Ableitung ist gegeben durch

${\partial \over \partial x} \Beta(x, y) = \Beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \Beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))$

wobei $\psi(x)$ die Digamma-Funktion ist.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Beta Function, Regularized Beta Function, Incomplete Beta Function in MathWorld (englisch)
• Beta function. Evaluation bei functions.wolfram.com (englisch)