Eulersche Betafunktion

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Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit \Beta bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene
\Beta(x,y) = \int\limits_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1}\, \mathrm{d}t,

wobei x und y einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion war die erste bekannte Streuamplitude in der Stringtheorie. Sie tritt darüber hinaus bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines[Bearbeiten]

Bei festem x (bzw. y) ist \Beta eine meromorphe Funktion von y (bzw. x), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

 \Beta(x,y) = \Beta(y,x) .

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit Re(x) > 0 und Re(y) > 0


\begin{align}
\Beta(x,y) & {} =\int\limits_0^\infty \frac{t^{x-1}}{{(1+t)}^{x+y}}\,\mathrm{d}t \\
& {} = 2 \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2y-1}(t) \cos^{2x-1}(t) \mathrm{d}t.
\end{align}

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

\Beta(x,y) = \frac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

wobei  \Gamma die Eulersche Gammafunktion bezeichnet. An dieser Darstellung kann man auch ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang x=k und y=k für ganze Zahlen k \leq 0 hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass \Beta(x,y) für alle rationalen, nicht ganzzahligen x, y transzendent ist.[1]

Darstellungen[Bearbeiten]

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:


 \Beta(x,y) = 2 \int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2x-1}(\cos\theta)^{2y-1}\,d\theta, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0

 \Beta(x,y) = \int_0^\infty\dfrac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \textrm{Re}(x)>0,\ \textrm{Re}(y)>0

 \Beta(x,y) = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{{n-y \choose n}} {x+n},

 \Beta(x,y) = \frac{x+y}{x y} \prod_{n=1}^\infty \left( 1+ \dfrac{x y}{n (x+y+n)}\right)^{-1},

 \Beta(x,y) \cdot \Beta(x+y,1-y) = \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)},

 \Beta(x,y) = \dfrac{1}{y}\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{y^{n+1}}{n!(x+n)}

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

{n \choose k} = \frac1{(n+1) \Beta(n-k+1, k+1)}.

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige x und y auf:

\Beta(x,y)=\dfrac{(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}.

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung ist gegeben durch

{\partial \over \partial x} \Beta(x, y) = \Beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) = \Beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y))

wobei \psi(x) die Digamma-Funktion ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1])

Weblinks[Bearbeiten]