Meromorphe Funktion

Für viele Fragestellungen der Funktionentheorie ist der Begriff der holomorphen Funktion zu speziell. Dies liegt daran, dass der Kehrwert $\tfrac1f$ einer holomorphen Funktion $f$ an einer Nullstelle von $f$ eine Definitionslücke hat und somit $\tfrac1f$ dort auch nicht holomorph ist. Man führt daher den allgemeineren Begriff der meromorphen Funktion ein, die auch isolierte Polstellen besitzen kann.

Meromorphe Funktionen lassen sich lokal als Laurentreihen mit abbrechendem Hauptteil darstellen. Ist U ein Gebiet von $\mathbb C$, so bildet die Menge der auf U meromorphen Funktionen einen Körper.

Definition

Auf dem Körper der komplexen Zahlen

Es sei $D$ eine nichtleere offene Teilmenge der Menge $\mathbb C$ der komplexen Zahlen und $P_f$ eine weitere Teilmenge von $\mathbb C$, die nur aus isolierten Punkten besteht. Eine Funktion $f$ heißt meromorph, wenn sie für Werte aus $D \setminus P_f$ definiert und holomorph ist und für Werte aus $P_f$ Pole hat. $P_f$ wird als Polstellenmenge von $f$ bezeichnet.

Auf einer riemannschen Fläche

Sei $X$ eine riemannsche Fläche und $Y$ eine offene Teilmenge von $X$. Unter einer meromorphen Funktion auf $Y$ verstehen wir eine holomorphe Funktion $f : Y' \rightarrow \mathbb{C}$, wobei $Y' \subset Y$ eine offene Teilmenge ist, so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

• Die Menge $P_f := Y\backslash Y'$ hat nur isolierte Punkte.
• Für jeden Punkt $p \in Y\backslash Y'$ gilt

$\lim_{x \rightarrow p} |f(x)| = \infty.$

Die Punkte aus der Menge $Y\backslash Y'$ werden Pole von $f$ genannt. Die Menge aller meromorphen Funktionen auf $Y$ wird mit $\mathcal{M}(Y,\mathbb{C})$ bezeichnet und bildet, falls $Y$ zusammenhängend ist, einen Körper. Diese Definition ist natürlich äquivalent zur Definition auf den komplexen Zahlen, falls $X$ eine Teilmenge derer ist.

Beispiele

• Alle holomorphen Funktionen sind auch meromorph, da ihre Polstellenmenge jeweils leer ist.

• Die Kehrwertfunktion $z \mapsto \tfrac 1z$ ist meromorph; ihre Polstellenmenge ist $\{0\}$. Allgemeiner sind alle rationalen Funktionen

  $z \mapsto \frac{a_m z^m + \dotsb + a_0}{b_n z^n + \dotsb + b_0}$

meromorph. Die Polstellenmenge ist hier jeweils eine Teilmenge der Nullstellenmenge des Nennerpolynoms.

• Für jede meromorphe Funktion $f \neq 0$ ist ihr Kehrwert $\tfrac 1f$ ebenfalls meromorph.

• Die Tangens- bzw. die Kotangens-Funktion ist meromorph.

• Die Funktion $z \mapsto e^{1/z}$ ist nicht auf ganz $\mathbb C$ (und auf keiner Umgebung von $0$) meromorph, da $0$ keine Polstelle, sondern eine wesentliche Singularität dieser Funktion ist.

• Weitere Beispiele sind: Elliptische Funktionen, Gammafunktion, Hurwitzsche Zeta-Funktion, Modulformen, Riemannsche ζ-Funktion, Spezielle Funktionen

Wichtige Sätze über meromorphe Funktionen sind: Satz von Mittag-Leffler, Residuensatz, Satz von Riemann-Roch.

Literatur

• E. Freitag & R. Busam - Funktionentheorie 1, Springer-Verlag, 4. Auflage, ISBN 3-540-67641-4
• Otto Forster - Riemannsche Flächen, Springer-Verlag, 1977, ISBN 0-387-08034-1
•  E.M. Chirka: Meromorphic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).