Eulersche Vermutung

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Die eulersche Vermutung aus dem Jahr 1769 ist eine nach Leonhard Euler benannte Vermutung der Zahlentheorie und verallgemeinert die fermatsche Vermutung. Die eulersche Vermutung ist mittlerweile widerlegt während die fermatsche Vermutung bewiesen wurde.

Vermutung[Bearbeiten]

Es gibt keine positiven ganzzahligen Lösungen a_1, a_2, \dots, a_n \in \mathbb{N} der Gleichung a_1^n + a_2^n + \cdots + a_{n-1}^n = a_n^n für  n \geq 3 . Fermat bewies die Vermutung für n = 3. Euler konnte für größere n weder einen Beweis noch ein Gegenbeispiel finden.

Widerlegungen[Bearbeiten]

Fall n = 5[Bearbeiten]

Für den Fall n = 5 fanden 1966 L. J. Lander und T. R. Parkin [1] ein Gegenbeispiel:

27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5

Fall n = 4[Bearbeiten]

Für n = 4 fand 1988 Noam Elkies [2] folgendes Gegenbeispiel:

2.682.440^4+15.365.639^4+18.796.760^4=20.615.673^4

Elkies bewies zudem, dass es für n = 4 unendlich viele Lösungen gibt.

Die kleinstmögliche Lösung für n = 4 lautet

95.800^4 + 217.519^4 + 414.560^4 = 422.481^4.

Diese Minimallösung wurde nach der Publikation der ersten Lösung durch Elkies von Roger Frye gefunden.[3][4]

Verwandte Fragestellung[Bearbeiten]

Zusammen mit seiner Vermutung äußerte Euler zudem, dass es möglich sein sollte, die Summe von vier bestimmten 4. Potenzen als 4. Potenz zu schreiben. Diese Vermutung wurde 1911 durch R. Norrie positiv beantwortet:

30^4 + 120^4 + 272^4 + 315^4 = 353^4

Für diese allgemeine Form

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = e^4

wurde 2008 von Lee W. Jacobi und Daniel J. Madden gezeigt, dass sie unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat, bei denen alle Summanden ungleich null sind. Es wurde sogar eine besonders ästhetische Lösung der Form

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a + b + c + d)^4

in ganzen Zahlen gefunden.[5] Die Summanden dieser speziellen Lösung haben im Dezimalsystem jeweils ca. 200 Ziffern.[6]

Literatur[Bearbeiten]

  • Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory. Springer, New York 1994, ISBN 0-387-94289-0
  •  Ian Stewart ; David Tall: Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem. 3. Auflage. A K Peters Ltd., Natick, MA 2002, ISBN 1-56881-119-5.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
  2. Noam Elkies: On A^4+B^4+C^4=D^4. Math. Comput. vol. 51, 1988, p. 825–835
  3.  Stewart / Tall: S. 232.
  4. Siehe auch Weblink zum Beitrag Euler's Sums of Powers von Ivars Peterson
  5. American Mathematical Monthly, März 2008
  6. http://www.nzz.ch/nachrichten/wissenschaft/variationen_zu_einer_vermutung_eulers_1.732803.html

Weblinks[Bearbeiten]