Fixpunktsatz

Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung $f\colon X\to X$ garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes $x\in X$ mit $f(x)\,=\,x$.

Überblick

In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach. Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.

Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis. So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.

Liste von Fixpunktsätzen

Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

Analysis und Funktionalanalysis

• Fixpunktsatz von Banach
• Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski
• Fixpunktsatz für ganze Funktionen
• Fixpunktsatz von Schauder
• Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk

Differentialgeometrie

• Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Algebraische Geometrie

• Borelscher Fixpunktsatz

Verbandstheorie

• Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Logik

• Fixpunktsatz von Gödel
• Fixpunktsatz von Kakutani

Topologie

• Fixpunktsatz von Brouwer
• Fixpunktsatz von Lefschetz
• Leray-Schauder-Alternative

Informatik

• Fixpunktsatz von Kleene

Kategorientheorie

• Fixpunktsatz von Lawvere

Literatur

• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.