Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

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Der Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski, benannt nach Czesław Ryll-Nardzewski, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz sichert die Existenz eines gemeinsamen Fixpunktes einer Familie gewisser Abbildungen einer kompakten, konvexen Menge in sich.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Sei E ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und C\subset E sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei \mathcal S eine nicht-leere Familie von Abbildungen T:C\rightarrow C mit folgenden Eigenschaften:

  1. \mathcal S ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle T_1,T_2\in \mathcal S gilt T_1\circ T_2\in \mathcal S.
  2. Jedes T\in \mathcal S ist schwach-stetig und affin, das heißt für x,y\in C und \alpha \in [0,1] gilt T(\alpha x+(1-\alpha)y) = \alpha T(x)+(1-\alpha)T(y).
  3. \mathcal S ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte x,y\in C liegt 0 nicht im Abschluss von \{T(x)-T(y); T\in {\mathcal S}\}.

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von \mathcal S, das heißt: Es gibt ein x_0\in C, so dass T(x_0)=x_0 für alle T\in \mathcal S.

Bemerkungen[Bearbeiten]

  • Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus \mathcal S einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
  • Die Voraussetzung, dass \mathcal S nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus \mathcal S Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

Anwendung[Bearbeiten]

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe G. Der Raum E=M(G) der endlichen Borel-Maße auf G ist der Dualraum des Raumes C(G) der stetigen Funktionen auf G, und trägt daher die schwach-*-Topologie, die M(G) zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man C:=\{\mu\in M(G); \mu \ge 0, \mu(1)=1\}. Für f\in C(G) und x\in G seien \tilde{f}, {}_xf,f_x \in C(G) durch die Formeln \tilde{f}(y):=f(y^{-1}), {}_xf(y):=f(xy), f_x(y):=f(yx) erklärt. Definiere weiter S_0,S_1,L_x,R_x:M(G)\rightarrow M(G) durch

  • S_0\, :=\, id_{M(G)}
  • S_1(\mu)(f)\, :=\, \mu(\tilde{f})
  • L_x(\mu)(f)\, :=\, \mu({}_xf)
  • R_x(\mu)(f)\, :=\, \mu(f_x)

Dann ist {\mathcal S}:=\{S_iL_xR_y; i\in\{0,1\}, x,y\in G\} eine Halbgruppe von Isometrien, die C in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

Quellen[Bearbeiten]

  • John B. Conway : A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
  • C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61