Formel von Wald

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Formel von Wald oder Waldsche Identität ist in der Stochastik eine Gleichung, mit deren Hilfe der Erwartungswert von Summen von Zufallsvariablen mit einer zufälligen Anzahl von Summanden berechnet werden kann. Sie wurde 1944 in einer Arbeit des Mathematikers Abraham Wald bewiesen.[1]

Formulierung[Bearbeiten]

Es sei (X_n)_{n\geq 1} eine Folge unabhängiger, identisch verteilter, integrierbarer Zufallsvariablen und T eine \N-wertige Zufallsvariable mit \operatorname{E}(T) < \infty, die von der Folge (X_n) unabhängig ist. Dann gilt[2]

\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right)=\operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1).

Beweis[Bearbeiten]

Weil T unabhängig von der Folge (X_n) ist, folgt durch Bedingen auf den Wert von T:

\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k \;\Big|\; T = n\right) = \operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^n X_k \right) = \sum_{k=1}^n \operatorname{E}(X_k) = n \operatorname{E}(X_1),

also

\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k \;\Big|\; T\right) = T \operatorname{E}(X_1).

Durch Anwenden des Erwartungswerts auf diese Gleichung erhält man schließlich

\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right) = \operatorname{E}\left(\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\;\Big|\; T \right)\right)  =\operatorname{E}(T \operatorname{E}(X_1)) = \operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1).

Verallgemeinerung auf Stoppzeiten[Bearbeiten]

Es sei nun (X_n)_{n\geq 1} eine Folge identisch verteilter integrierbarer Zufallsvariablen, die an eine Filtrierung (\mathcal{F}_n)_n adaptiert ist, das heißt für alle n ist X_n \mathcal{F}_n-messbar. Wenn X_{n+1} von \mathcal{F}_n unabhängig ist für alle n \in \N und T eine integrierbare Stoppzeit bezüglich (\mathcal{F}_n)_n ist, so gilt ebenfalls die Formel von Wald:[3]

\operatorname{E}\left(\sum_{k=1}^TX_k\right)=\operatorname{E}(T)\operatorname{E}(X_1).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Abraham Wald: On Cumulative Sums of Random Variables. In: The Annals of Mathematical Statistics Nr. 15, Bd. 3, S. 283–296, doi:10.1214/aoms/1177731235.
  2. David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 287.
  3. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. De-Gruyter-Lehrbuch, Berlin 2002, ISBN 3-11-017236-4, Kapitel 17.